Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 22

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe *

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

wobei links der -te Standardvektor (der Länge ) als Zeilenvektor und rechts der -te Standardvektor (ebenfalls der Länge ) als Spaltenvektor aufgefasst wird.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt mit dem -ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die -te Spalte von ergibt. Was ist , wobei der -te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?


Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

gemäß den beiden möglichen Klammerungen.


Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist.

Genauer: Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix über . Zeige, dass ist.


Zu einer Matrix bezeichnet man mit die -fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von -ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

die Potenzen


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass auch das Produkt

ein -Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine Indexmenge. Zeige, dass

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein -Vektorraum ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung nur dann ein Untervektorraum ist, wenn oder gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über einem Körper . Zeige, dass die vierte Potenz von gleich ist, also


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei und ).

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Aus und folgt .


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum und von drei Teilmengen in an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.



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