Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 22

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe *

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

wobei links der -te Standardvektor (der Länge ) als Zeilenvektor und rechts der -te Standardvektor (ebenfalls der Länge ) als Spaltenvektor aufgefasst wird.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt mit dem -ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die -te Spalte von ergibt. Was ist , wobei der -te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?


Aufgabe

Es sei

eine Diagonalmatrix und eine -Matrix. Beschreibe und .


Aufgabe

Es sei

eine Diagonalmatrix und ein -Tupel über einem Körper , und es sei ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

und wie löst man es?


Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

gemäß den beiden möglichen Klammerungen.


Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist.

Genauer: Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix über . Zeige, dass ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Zu einer Matrix bezeichnet man mit die -fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von -ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

die Potenzen


Aufgabe *

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

6 2 3
4 1 2
0 5 2
2 1 5

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?


Aufgabe

2D Cartesian.svg

Bestimme die (ungefähren) Koordinaten des skizzierten Punktes (eine Kästchenlänge repräsentiere eine Einheit).


Aufgabe

Markiere die folgenden Punkte in der kartesischen Ebene .


Aufgabe

Es sei ein Punkt in der Ebene gegeben. Skizziere die Punkte


Aufgabe

Es sei ein Punkt in der Ebene gegeben. Skizziere die Menge aller Punkte


Aufgabe

Markiere zwei Punkte und in der kartesischen Ebene und addiere sie.


Aufgabe

Zeige, dass der Zahlenraum zu einem Körper mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

erfüllt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass auch das Produkt

ein -Vektorraum ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien und . Zeige


Aufgabe

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.


Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des Untervektorräume sind:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe *

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe *

Es sei die Menge aller reellen -Matrizen

die die Bedingung

erfüllen. Zeige, dass kein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung nur dann ein Untervektorraum ist, wenn oder gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine Indexmenge. Zeige, dass

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein -Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei

die Menge aller reellen Cauchyfolgen. Zeige, dass ein Untervektorraum des Folgenraums

ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

ein Untervektorraum ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

ein Untervektorraum ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Teilmenge

kein Untervektorraum ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über einem Körper . Zeige, dass die vierte Potenz von gleich ist, also


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Finde und beweise eine Formel für die -te Potenz der Matrix


Aufgabe (2 Punkte)

Finde neben den beiden Matrizen und weitere Matrizen mit der Eigenschaft .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei und ).

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Aus und folgt .


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum und von drei Teilmengen in an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.



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