Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 58/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Flächeninhalt der Vereinigung der beiden Rechtecke ${}R$ und ${}S$, wobei ${}R$ durch die Eckpunkte ${}(0,0),\,(3,0),\,(0,2)\,(3,2)$ und ${}S$ durch die Eckpunkte ${}(2,1),\,(5,1),\,(2,4)\,(5,4)$ gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Flächeninhalt eines regulären Sechseckes mit der Seitenlänge ${}1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}n\geq 1$, eine kompakte Teilmenge, die eine nichtleere offene Teilmenge umfasse. Zeige ${}\lambda ^{n}(T)>0$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien drei Punkte ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {Q} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide (eines Tetraeders) mit Seitenlänge ${}1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Cavalieri-Prinzip.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen ${}0$ und ${}\pi$ um die ${}x$-Achse gedreht wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die ${}y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu ${}y=h$ „gedeckelt“ wird, in Abhängigkeit von ${}h\geq 0$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Fasse die Einheitskugel als Rotationskörper auf und berechne damit ihr Volumen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man aus dem Einheitszylinder, dessen Grundfläche eine Einheitskreisscheibe ist und der die Höhe ${}1$ besitzt, den (offenen) Kegel herausnimmt, der den oberen Zylinderdeckel als Grundfläche und den unteren Kreismittelpunkt als Spitze besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sollen drei Kugeln mit Radius ${}1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto t+{\sqrt {t}}+1,$

um die ${}t$-Achse rotieren lässt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist ${}30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von ${}20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von ${}25$ cm. Über Nacht hat es ${}5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ die Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt in ${}(0,R)$ und dem Radius ${}0<r<R$. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn sich ${}K$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ der Viertelkreis mit dem Mittelpunkt in ${}(1,0)$, dem Radius ${}1$ und den Eckpunkten ${}(0,0)$ und ${}(1,1)$. Berechne das Volumen des „runden Trichters“, der entsteht, wenn man ${}V$ um die ${}y$-Achse dreht.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(3,4),\,(5,5)$ und ${}(4,6)$. Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man ${}D$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Volumen des Kegels, dessen Spitze in ${}(2,3,5)$ liegt und dessen Grundfläche die durch

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}\leq 4\right\}}$

gegebene Ellipse ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ ein Kreissektor des Einheitskreises zum Winkel ${}\alpha$ (im Bogenmaß). Begründe mit Überpflasterungseigenschaften und mit Satz 58.8, dass der Flächeninhalt von ${}T$ gleich ${}{\frac {\alpha }{2}}$ ist.