Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 53/latex
\setcounter{section}{53}
\zwischenueberschrift{Der Satz über die Umkehrabbildung}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein reelles Intervall und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x_0)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir an es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x_0)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Ableitung stetig ist, gibt es auch ein offenes Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ = }{{]x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon[}
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Aufgrund von
Satz 15.7 (2)
ist somit $f$ auf $J$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
Daher ist insbesondere $f$ auf $J$
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
Das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J'
}
{ = }{ f(J)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
nach dem Zwischenwertsatz
ein Intervall und daher liegt eine Bijektion
\maabbdisp {f {{|}}_J} {J} {J'
} {}
vor.
Nach Satz 14.9
ist die Umkehrfunktion
\maabbdisp {g} {J'} {J
} {}
ebenfalls differenzierbar, und ihre Ableitung in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{J'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g'(y)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ f'(g(y)) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist die Umkehrfunktion auf $J'$ auch stetig differenzierbar. Eine ähnliche Argumentation ist durchführbar, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x_0)
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Insgesamt bedeutet dies, dass aus dem Nichtverschwinden der Ableitung in einem Punkt folgt, dass die Funktion sich in einer kleinen offenen Umgebung des Punktes bijektiv verhält mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung.
Der Satz über die \zusatzklammer {lokale} {} {} Umkehrabbildung verallgemeinert diese Beobachtung auf höhere Dimensionen. Er gehört zu den wichtigsten Sätzen der mehrdimensionalen Analysis und besagt, dass eine stetig differenzierbare Abbildung $\varphi$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, für die das totale Differential in einem Punkt $P$ bijektiv ist \zusatzklammer {was voraussetzt, dass die Dimension des Definitionsraumes mit der Dimension des Zielraums übereinstimmt} {} {,} die Abbildung selbst auf geeigneten kleinen offenen Umgebungen von \mathkor {} {P} {und von} {\varphi(P)} {} eine Bijektion ist. D.h. die Abbildung verhält sich \stichwort {lokal} {} so wie das totale Differential.
Der folgende Satz heißt \stichwort {Satz über die Umkehrbarkeit} {.} Wir verzichten auf den recht aufwändigen Beweis.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {V_2
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt derart, dass das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathdisp {\left(D\varphi\right)_{P}} { }
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_2
}
{ \subseteq }{ V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (P)
}
{ \in }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $\varphi$ eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
\maabbdisp {\varphi {{|}}_{ U_1 }} {U_1} {U_2} {}
induziert, und dass die Umkehrabbildung
\maabbdisp {( \varphi {{|}}_{ U_1 } )^{-1}} {U_2} {U_1
} {}
ebenfalls stetig differenzierbar ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{Wir beginnen mit einigen Reduktionen.\leerzeichen{}}{}
{Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi ( P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \left(D\varphi\right)_{ P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die durch das totale Differential gegebene bijektive
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
mit der linearen Umkehrabbildung $D^{-1}$. Wir betrachten die Gesamtabbildung
\mathdisp {G \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} V_2 \stackrel{D^{-1} }{\longrightarrow} V_1} { . }
Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D^{-1} \circ D
}
{ = }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für $\varphi$, da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass
\maabb {\varphi} {V_1} {V_1 = V_2
} {}
eine stetig differenzierbare Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, deren totales Differential in $0$ die Identität ist. Wir werden dennoch von
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung
\maabbeledisp {H_y} { G } { V_2
} { x } { H_y(x) = x- \varphi(x) +y
} {.}
Diese Hilfsabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann ein
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
von $H_y$, also ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H_y(x)
}
{ = }{ x - \varphi(x)+ y
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, d.h. wenn $x$ ein Urbild von $y$ unter $\varphi$ ist. Die Abbildungen $H_y$ sind selbst stetig differenzierbar und es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(DH_y\right)_{x}
}
{ = }{
\operatorname{Id} - \left(D\varphi\right)_{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{Wir möchten den
Banachschen Fixpunktsatz
auf $H_y$ anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von $y$ unter $\varphi$ nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm.\leerzeichen{}}{}
{Wegen der Stetigkeit von
\mathl{x \mapsto \left(D\varphi\right)_{x}}{} und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{0}
}
{ =} {
\operatorname{Id}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mathbed {r \in \R} {}
{r >0} {}
{} {} {} {,}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ B \left( 0,r \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \left(DH_y\right)_{x} } \Vert
}
{ =} { \Vert {
\operatorname{Id} -\left(D\varphi\right)_{x} } \Vert
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ B \left( 0,r \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt daher nach der
Mittelwertabschätzung
die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {x- \varphi(x)} \Vert
}
{ =} { \Vert {H_0(x) } \Vert
}
{ =} { \Vert {H_0(x) - H_0(0)} \Vert
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \Vert {x} \Vert
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Für
\mathkor {} {y \in B \left( 0, { \frac{ r }{ 2 } } \right)} {und} {x \in B \left( 0,r \right)} {}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {H_y(x)} \Vert
}
{ =} { \Vert {x - \varphi(x) +y } \Vert
}
{ \leq} { \Vert {x - \varphi(x)} \Vert + \Vert {y} \Vert
}
{ \leq} { { \frac{ \Vert {x} \Vert }{ 2 } } + { \frac{ r }{ 2 } }
}
{ \leq} { { \frac{ r }{ 2 } } + { \frac{ r }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { r
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ B \left( 0, { \frac{ r }{ 2 } } \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt also eine Abbildung
\maabbdisp {H_y} { B \left( 0,r \right) } {B \left( 0,r \right)
} {}
vor.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der
Mittelwertabschätzung
gilt für zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{ B \left( 0,r \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { H_y(x_1)- H_y(x_2)} \Vert
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \Vert {x_1-x_2} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass
\mathl{H_y}{} eine
\definitionsverweis {stark kontrahierende Abbildung}{}{}
ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel
\mathl{B \left( 0,r \right)}{}
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
sind
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe *****
und
Aufgabe *****} {} {,}
besitzt jede Abbildung
\mathl{H_y}{} aufgrund des
Banachschen Fixpunktsatzes
genau einen Fixpunkt aus
\mathl{B \left( 0, { \frac{ r }{ 2 } } \right)}{,} den wir mit
\mathl{\psi(y)}{} bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(\psi(y))
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ U { \left( 0,\frac{r}{2} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört das eindeutige Urbild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ B \left( 0,r \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zur offenen Kugel
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{,} wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen
\mathkor {} {U_2 = U { \left( 0, { \frac{ r }{ 2 } } \right) }} {und} {U_1 = \varphi^{-1}(U_2) \cap U { \left( 0, r \right) }} {,}
wobei $U_1$ aufgrund der Stetigkeit von $\varphi$ offen ist. Die eingeschränkte Abbildung
\maabbeledisp {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2
} {x} {\varphi(x)
} {}
ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung
\maabbdisp {\psi} { U_2 } { U_1
} {,}
die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir zeigen zuerst, dass $\psi$
\definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{}
ist mit der
\definitionsverweis {Lipschitz-Konstanten}{}{}
$2$. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_1,y_2
}
{ \in }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit den eindeutigen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {\varphi (x_1)=y_1} {und} {\varphi (x_2)=y_2} {.}
Es gelten die Abschätzungen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert {x_2-x_1} \Vert
}
{ =} { \Vert {H_0(x_2)+ \varphi(x_2) - H_0(x_1) - \varphi(x_1) } \Vert
}
{ \leq} { \Vert {H_0(x_2) - H_0(x_1) } \Vert + \Vert { \varphi(x_2) - \varphi(x_1) } \Vert
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \Vert {x_2-x_1} \Vert + \Vert { \varphi(x_2) - \varphi(x_1) } \Vert
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\psi(y_2)- \psi(y_1)} \Vert
}
{ =} { \Vert {x_2-x_1} \Vert
}
{ \leq} { 2 \Vert {y_2-y_1} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Aufgrund von
Fakt *****
ist $\psi$ auch differenzierbar und es gilt die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\psi\right)_{y}
}
{ =} { (\left(D\varphi\right)_{ \psi(y)} )^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von $y$ ablesen, da $\psi$ stetig ist, da das totale Differential von $\varphi$ nach Voraussetzung stetig von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ \psi(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist.}
{}
Dabei ergibt sich das totale Differential der Umkehrabbildung in einem Punkt
\mathl{\varphi(P)}{}
aufgrund der Kettenregel
einfach als Umkehrabbildung des totalen Differentials in $P$.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine in $P$
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Dann heißt $P$ ein \definitionswort {regulärer Punkt}{} von $\varphi$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ =} { {\min { \left( \dim_{ } { \left( V \right) } , \dim_{ } { \left( W \right) } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Andernfalls heißt $P$ ein \definitionswort {kritischer Punkt}{} oder ein \definitionswort {singulärer Punkt}{.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
ist genau dann
\definitionsverweis {regulär}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} den maximal möglichen
\definitionsverweis {Rang}{}{}
besitzt. Der Rang ist nach
Lemma 26.2
und nach
Lemma 26.3
gleich dem
\definitionsverweis {Spalten}{}{-}
bzw.
\definitionsverweis {Zeilenrang}{}{}
einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $P$ ein
\definitionsverweis {regulärer Punkt}{}{}
genau dann, wenn
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit
Definition 51.11
überein. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet die Regularität wiederum, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Generell bedeutet bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ \leq }{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Regularität, dass
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ \geq }{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet die Regularität, dass
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist. Insbesondere bedeutet bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ } { \left( V \right) }
}
{ = }{ \dim_{ } { \left( W \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Regularität in $P$, dass das totale Differential
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist und dass daher die Voraussetzung im
Satz über die lokale Umkehrbarkeit
erfüllt ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {(x^2-y,x+xy)
} {.}
Diese Abbildung ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2x & -1 \\ 1+y & x \end{pmatrix}} { . }
Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
davon ist
\mathdisp {2x^2+1+y} { , }
so dass die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \neq} {-2x^2-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, so dass dort aufgrund des
Satzes über die lokale Umkehrbarkeit
lokal eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
vorliegt, d.h. es gibt
\definitionsverweis {offene Umgebungen}{}{}
\mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {}
von
\mathl{(0,0)}{} derart, dass die
\definitionsverweis {eingeschränkte Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2
} {}
bijektiv ist
\zusatzklammer {mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung} {} {.}
Wie groß kann dabei $U_1$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf
\definitionsverweis {offene Ballumgebungen}{}{}
\mathl{U { \left( (0,0),r \right) }}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form
\mathdisp {( \pm x,-1)} { . }
Diese werden unter $\varphi$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi( \pm x, -1)
}
{ =} { \left( x^2-(-1) , \, x+x(-1) \right)
}
{ =} { \left( x^2+1 , \, 0 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.
Betrachten wir hingegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ =} { U { \left( (0,0),1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2
}
{ \defeq} { \varphi(U_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Da $U_1$ keine
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{}
enthält, ist nach
Aufgabe 53.38
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
$U_2$
\definitionsverweis {offen}{}{.}
Die eingeschränkte Abbildung
\maabb {\varphi {{|}}_{U_1}} {U_1} {U_2
} {}
ist nach Definition von $U_2$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{,}
so dass nur die
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
zu untersuchen ist.
Das Gleichungssystem
\mathdisp {x^2-y = u \text{ und } x+xy = v} { }
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { x^2 - u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x (1+x^2 -u)
}
{ =} { x^3 + (1-u)x
}
{ =} { v
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Seien
\mathkor {} {(x,y)} {und} {(\tilde{x},\tilde{y})} {}
aus
\mathl{U { \left( (0,0) ,1 \right) }}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y)
}
{ =} { \varphi( \tilde{x} , \tilde{y})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3+(1-u)x
}
{ =} { v
}
{ =} { \tilde{x}^3 + (1-u) \tilde{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { x^3 - \tilde{x}^3 + (1-u) (x- \tilde{x} )
}
{ =} { (x- \tilde{x} ) { \left( x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \tilde{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ \tilde{y}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{ \tilde{x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ x^2-u
}
{ = }{ - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{y}
}
{ = }{ -x \tilde{x} -x^2 -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x(y+1)
}
{ =} {v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y+1
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
müssen
\mathkor {} {x} {und} {v} {}
das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch
\mathkor {} {x} {und} {\tilde{x}} {}
das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1
}
{ \leq} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius $1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann\zusatzfussnote {Man kann auch folgendermaßen argumentieren: Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von
\mathl{x^3 + (1-u)x}{} nach $x$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3x^2 + (1-u)
}
{ = }{ 3x^2 +1 - (x^2-y)
}
{ = }{ 2x^2 +1 +y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \betrag { y }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies positiv. Somit ist
\mathl{x^3 + (1-u)x}{}
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{}
in $x$ nach
Satz 15.7.
Daher gibt es zu einem vorgegebenen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (u,v)
}
{ \in }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur ein $x$, das die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 + (1-u)x
}
{ =} { v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{x^2-u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch die zweite Komponente $y$ eindeutig bestimmt} {.} {.}
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ = }{ U { \left( (0,0),1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt also eine Bijektion
\maabb {} {U_1} {U_2
} {}
vor.
}
\zwischenueberschrift{Diffeomorphismen}
Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es seien \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} und \mathkor {} {U_1 \subseteq V_1} {und} {U_2 \subseteq V_2} {} \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmengen. Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} heißt \definitionswortpraemath {C^k}{ Diffeomorphismus }{,} wenn $\varphi$ \definitionsverweis {bijektiv}{}{} und $k$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist, und wenn die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^{-1}} {U_2} {U_1 } {} ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.
}
Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit besagt also, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit invertierbarem totalen Differential lokal \zusatzklammer {!} {} {} ein $C^1$-Diffeomorphismus ist \zusatzklammer {es gibt auch $C^k$-Versionen von diesem Satz} {} {.} Zwei offene Mengen \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} heißen $C^k$-\stichwort {diffeomorph} {,} wenn es einen $C^k$-Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt. Man spricht auch von einem \stichwort {differenzierbaren Koordinatenwechsel} {.}
Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit macht keine Aussage über die Größe der offenen Mengen, auf denen ein Diffeomorphismus vorliegt. Abbildungen, die auf großen und übersichtlichen Teilmengen umkehrbar sind, werden durch Koordinatensysteme bereit gestellt. Wir besprechen hier Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten.
Wir haben gelegentlich für die reelle Ebene
\zusatzklammer {bzw. die komplexen Zahlen} {} {}
Polarkoordinaten verwendet. Hier besprechen wir Polarkoordinaten in Hinblick auf lokale Umkehrbarkeit.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Passaggio_in_coordinate_polari.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Passaggio in coordinate polari.svg } {} {Cronholm144} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {(r, \alpha)} { (r \cos \alpha , r \sin \alpha )
} {,}
heißt \stichwort {Polarkoordinatenauswertung} {.} Sie ordnet einem Radius $r$ und einem Winkel $\alpha$
\zusatzklammer {wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein} {} {}
denjenigen Punkt der Ebene
\zusatzklammer {in kartesischen Koordinaten} {} {}
zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels
\zusatzklammer {gemessen von der $x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn} {} {}
die Strecke $r$ zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt
\mathl{(r,\alpha)}{}
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} \cos \alpha & - r \sin \alpha \\ \sin \alpha & r \cos \alpha \end{pmatrix}} { . }
Diese Abbildung ist nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel $\alpha$,
\definitionsverweis {periodisch}{}{}
mit der Periode $2 \pi$ ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzgs {unabhängig von $\alpha$} {}
das Bild gleich
\mathl{(0,0)}{.} Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(-r, \alpha + \pi )
}
{ = }{\varphi(r, \alpha)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.
Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der Jacobi-Matrix ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r( \cos^{ 2 } \alpha + \sin^{ 2 } \alpha )
}
{ =} { r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt also nach
Satz 26.11
ein
\definitionsverweis {bijektives}{}{}
\definitionsverweis {totales Differential}{}{}
vor. Nach dem
Satz über die lokale Umkehrabbildung
gibt es zu jedem Punkt
\mathl{(r, \alpha)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (r, \alpha)
}
{ \in }{U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine bijektive Abbildung
\maabbdisp {\varphi {{|}} _{U_1}} { U_1} {U_2 = \varphi(U_1)
} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man beispielsweise als offene Umgebung das
\definitionsverweis {offene Rechteck}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1
}
{ =} { {]r- \delta, r+ \delta[} \times {]\alpha - \epsilon, \alpha+ \epsilon [}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ > }{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wählen. Das Bild davon, also $U_2$, ist der Schnitt des
\zusatzklammer {offenen} {} {}
Kreisringes zu den Radien
\mathkor {} {r-\delta} {und} {r+ \delta} {}
und dem
\zusatzklammer {offenen} {} {}
\definitionsverweis {Kreissektor}{}{,}
der durch die beiden Winkel
\mathkor {} {\alpha- \epsilon} {und} {\alpha+ \epsilon} {}
begrenzt ist.
Man kann diese Abbildung zu einer
\definitionsverweis {bijektiven Abbildung}{}{,}
und zwar zu einem
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,}
auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu
\maabbeledisp {} {\R_+ \times {]- \pi, \pi[}} { \R^2 \setminus { \left\{ (x,0) \mid x \leq 0 \right\} }
} {(r, \alpha)} {(r \cos \alpha , r \sin \alpha )
} {.}
Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der
\definitionsverweis {trigonometrischen Funktionen}{}{,}
siehe insbesondere
Satz 16.12.
Wenn man das offene Intervall
\mathl{]{-\pi}, \pi[}{} durch das halboffene Intervall
\mathl{]{-\pi}, \pi]}{} ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen
\mathl{\R_+ \times {]{-\pi}, \pi]}}{} und
\mathl{\R^2 \setminus \{ (0,0) \}}{.} Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal
\definitionsverweis {stetig}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Die Abbildung
\maabbeledisp {} { \R^3 } { \R^3
} { (r, \theta,\varphi)} { \left( r \cos \varphi \sin \theta , \, r \sin \varphi \sin \theta , \, r \cos \theta \right)
} {,}
\zusatzklammer {bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie \mathlk{\R_{\geq 0} \times [0, \pi] \times [0,2 \pi]}{}} {} {}
nennt man \stichwort {Kugelkoordinatenauswertung} {.} Diese Abbildung bildet die \stichwort {Kugelkoordinaten} {}
\mathl{(r, \theta,\varphi)}{} auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten
\mathl{(x,y,z)}{} ab.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3D Spherical.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 3D Spherical.svg } {} {Andeggs} {Commons} {PD} {}
Die Bedeutung der Kugelkoordinaten sind folgendermaßen: $r$ ist der Abstand von
\mathl{(x,y,z)}{} zum Nullpunkt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren die beiden Winkel
\mathkor {} {\varphi} {und} {\theta} {}
einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt $\varphi$ einen Punkt auf dem Einheitskreis in der
\mathl{x-y}{-}Ebene
\zusatzklammer {auf dem Äquator} {} {}
und $\theta$ bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis
\zusatzklammer {der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist} {} {,}
wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{r
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und} {} {}
einen festen Winkel $\theta$ parametrisiert $\varphi$ einen \stichwort {Breitenkreis} {,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta
}
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel $\varphi$ hingegen parametrisiert $\theta$ den oben angesprochenen Halbkreis, einen \stichwort {Längenkreis} {.} In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus
\mathl{[- { \frac{ \pi }{ 2 } }, { \frac{ \pi }{ 2 } } ]}{}
\zusatzklammer {statt
\mathkor {} {+} {und} {-} {}
spricht man von nördlicher und südlicher Breite} {} {}
und nimmt
\mathl{- \sin \theta}{.}
Die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
der Abbildung ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} \cos \varphi \sin \theta & r \cos \varphi \cos \theta & -r \sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & r \sin \varphi \cos \theta & r \cos \varphi \sin \theta \\ \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \end{pmatrix}} { }
und die Determinante davon ist
\mathdisp {r^2 \sin \theta} { . }
D.h. bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta
}
{ \notin }{\Z \pi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
invertierbar und daher liegt
nach Satz 53.1
ein
\definitionsverweis {lokaler Diffeomorphismus}{}{}
vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen
\mathl{\R_+ \times ]0, \pi[ \times [0, 2 \pi[}{} und
\mathl{\R^3 \setminus { \left\{ (0,0,z) \mid z \in \R \right\} }}{} vorliegt.
}