Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 53

Der Satz über die Umkehrabbildung

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein reelles Intervall und

$f:I⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion mit  $f^{\prime }\left(x_0\right)\ne 0$  in einem Punkt  $x_0\in I$.  Nehmen wir an, es gelte  $f^{\prime }\left(x_0\right)>0$.  Da die Ableitung stetig ist, gibt es auch ein offenes Intervall  $J=]x_0-ϵ,x_0+ϵ[\subseteq I$  derart, dass  $f^{\prime }(x)>0$  für alle  $x\in J$  ist. Aufgrund von Satz 15.17  (2) ist somit $f$ auf $J$ streng wachsend. Daher ist insbesondere $f$ auf $J$ injektiv. Das Bild  $J^{\prime }=f(J)$  ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall und daher liegt eine Bijektion

$f{|}_J:J⟶J^{\prime }$

vor. Nach Satz 14.9 ist die Umkehrfunktion

$g:J^{\prime }⟶J$

ebenfalls differenzierbar, und ihre Ableitung in  $y\in J^{\prime }$  ist  $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(g(y))}$.  Daher ist die Umkehrfunktion auf $J^{\prime }$ auch stetig differenzierbar. Eine ähnliche Argumentation ist durchführbar, wenn  $f^{\prime }(x_0)<0$  ist. Insgesamt bedeutet dies, dass aus dem Nichtverschwinden der Ableitung in einem Punkt folgt, dass die Funktion sich in einer kleinen offenen Umgebung des Punktes bijektiv verhält mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung.

Der Satz über die (lokale) Umkehrabbildung verallgemeinert diese Beobachtung auf höhere Dimensionen. Er gehört zu den wichtigsten Sätzen der mehrdimensionalen Analysis und besagt, dass eine stetig differenzierbare Abbildung $\phi$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, für die das totale Differential in einem Punkt $P$ bijektiv ist (was voraussetzt, dass die Dimension des Definitionsraumes mit der Dimension des Zielraums übereinstimmt), die Abbildung selbst auf geeigneten kleinen offenen Umgebungen von $P$ und von $\phi (P)$ eine Bijektion ist. D.h. die Abbildung verhält sich lokal so wie das totale Differential.

Der folgende Satz heißt Satz über die Umkehrbarkeit. Wir verzichten auf den recht aufwändigen Beweis.

Satz

Es seien $V_1$ und $V_2$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei  $G\subseteq V_1$  offen und es sei

$\phi :G⟶V_2$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei  $P\in G$  ein Punkt derart, dass das totale Differential

${\left(D\phi \right)}_P$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge  $U_1\subseteq G$  und eine offene Menge  $U_2\subseteq V_2$  mit  $P\in U_1$  und mit  $\phi (P)\in U_2$  derart, dass $\phi$ eine Bijektion

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\phi {|}_{U_1}{)}^{-1}:U_2⟶U_1$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

  Wir beginnen mit einigen Reduktionen. Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass  $P=0$  und  $\phi (P)=0$  ist. Es sei  $D={\left(D\phi \right)}_P$  die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung $D^{-1}$. Wir betrachten die Gesamtabbildung

$G\stackrel{\phi }{⟶}{V}_2\stackrel{D^{-1}}{⟶}{V}_1.$

Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist  $D^{-1}\circ D=\mathrm{Id}$.  Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für $\phi$, da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass $\phi :V_1\to V_1=V_2$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit  $\phi (0)=0$  ist, deren totales Differential in $0$ die Identität ist. Wir werden dennoch von $V_1$ und $V_2$ sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt.
Sei  $y\in V_2$  fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung

$H_y:G⟶V_2,x⟼H_y(x)=x-\phi (x)+y.$

Diese Hilfsabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt  $x\in G$  ist genau dann ein Fixpunkt von $H_y$, also ein Punkt mit  $H_y(x)=x-\phi (x)+y=x$,  wenn  $\phi (x)=y$  ist, d.h. wenn $x$ ein Urbild von $y$ unter $\phi$ ist. Die Abbildungen $H_y$ sind selbst stetig differenzierbar und es gilt  ${\left(D{H}_y\right)}_x=\mathrm{Id}-{\left(D\phi \right)}_x$. 
  Wir möchten den Banachschen Fixpunktsatz auf $H_y$ anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von $y$ unter $\phi$ nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. Wegen der Stetigkeit von $x\mapsto {\left(D\phi \right)}_x$ und wegen

${\left(D\phi \right)}_0=\mathrm{Id}$

gibt es ein $r\in ℝ$, $r>0$, derart, dass für alle  $x\in B(0,r)$  die Abschätzung

$\Vert {\left(D{H}_y\right)}_x\Vert =\Vert \mathrm{Id}-{\left(D\phi \right)}_x\Vert \le \frac{1}{2}$

gilt. Für jedes  $x\in B(0,r)$  gilt daher nach der Mittelwertabschätzung die Abschätzung

$\begin{array}{cc}\Vert x-\phi (x)\Vert & =\Vert H_0(x)\Vert \\ & =\Vert H_0(x)-H_0(0)\Vert \\ & \le \frac{1}{2}\Vert x\Vert .\end{array}$

Für $y\in B(0,\frac{r}{2})$ und $x\in B(0,r)$ gilt

$\begin{array}{cc}\Vert H_y(x)\Vert & =\Vert x-\phi (x)+y\Vert \\ & \le \Vert x-\phi (x)\Vert +\Vert y\Vert \\ & \le \frac{\Vert x\Vert }{2}+\frac{r}{2}\\ & \le \frac{r}{2}+\frac{r}{2}\\ & =r.\end{array}$

Für jedes  $y\in B(0,\frac{r}{2})$  liegt also eine Abbildung

$H_y:B(0,r)⟶B(0,r)$

vor.
Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt für zwei Punkte  $x_1,x_2\in B(0,r)$  die Abschätzung

$\Vert H_y(x_1)-H_y(x_2)\Vert \le \frac{1}{2}\Vert x_1-x_2\Vert ,$

sodass $H_y$ eine stark kontrahierende Abbildung ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel $B(0,r)$ vollständig sind (siehe Aufgabe ***** und Aufgabe 36.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))), besitzt jede Abbildung $H_y$ aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes genau einen Fixpunkt aus $B(0,\frac{r}{2})$, den wir mit $\psi (y)$ bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist  $\phi (\psi (y))=y$. 
Zu  $y\in U(0,\frac{r}{2})$  gehört das eindeutige Urbild  $x\in B(0,r)$  zur offenen Kugel $U(0,r)$, wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen $U_2=U(0,\frac{r}{2})$ und $U_1={\phi }^{-1}(U_2)\cap U(0,r)$, wobei $U_1$ aufgrund der Stetigkeit von $\phi$ offen ist. Die eingeschränkte Abbildung

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2,x⟼\phi (x)$

ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung

$\psi :U_2⟶U_1,$

die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen.
Wir zeigen zuerst, dass $\psi$ Lipschitz-stetig ist mit der Lipschitz-Konstanten $2$. Seien  $y_1,y_2\in U_2$  gegeben mit den eindeutigen Elementen  $x_1,x_2\in U_1$  mit $\phi (x_1)=y_1$ und $\phi (x_2)=y_2$. Es gelten die Abschätzungen

$\begin{array}{cc}\Vert x_2-x_1\Vert & =\Vert H_0(x_2)+\phi (x_2)-H_0(x_1)-\phi (x_1)\Vert \\ & \le \Vert H_0(x_2)-H_0(x_1)\Vert +\Vert \phi (x_2)-\phi (x_1)\Vert \\ & \le \frac{1}{2}\Vert x_2-x_1\Vert +\Vert \phi (x_2)-\phi (x_1)\Vert ,\end{array}$

wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich

$\Vert \psi (y_2)-\psi (y_1)\Vert =\Vert x_2-x_1\Vert \le 2\Vert y_2-y_1\Vert .$

Aufgrund von Fakt ***** ist $\psi$ auch differenzierbar und es gilt die Formel

${\left(D\psi \right)}_y=({\left(D\phi \right)}_{\psi (y)}{)}^{-1}.$

Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von $y$ ablesen, da $\psi$ stetig ist, da das totale Differential von $\phi$ nach Voraussetzung stetig von  $x=\psi (y)$  abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist.

$◻$

 

Dabei ergibt sich das totale Differential der Umkehrabbildung in einem Punkt $\phi (P)$ aufgrund der Kettenregel einfach als Umkehrabbildung des totalen Differentials in $P$.

Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei  $G\subseteq V$  offen, sei  $P\in G$  und sei

$\phi :G⟶W$

eine in $P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt $P$ ein regulärer Punkt von $\phi$, wenn

$\mathrm{rang}{\left(D\phi \right)}_P=min({\dim }_{}\left(V\right),{\dim }_{}\left(W\right))$

ist. Andernfalls heißt $P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.

Bemerkung  

Eine differenzierbare Abbildung $\phi :G\to W$ ist genau dann regulär in einem Punkt  $P\in G$,  wenn das totale Differential ${\left(D\phi \right)}_P$ den maximal möglichen Rang besitzt. Der Rang ist nach Lemma 26.2 und nach Lemma 26.3 gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.

Bei  ${\dim }_{}\left(W\right)=1$  ist $P$ ein regulärer Punkt genau dann, wenn ${\left(D\phi \right)}_P$ nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition 51.11 überein. Bei  ${\dim }_{}\left(V\right)=1$  bedeutet die Regularität wiederum, dass  ${\left(D\phi \right)}_P\ne 0$  ist. Generell bedeutet bei  ${\dim }_{}\left(V\right)\le {\dim }_{}\left(W\right)$  die Regularität, dass ${\left(D\phi \right)}_P$ injektiv ist, und bei  ${\dim }_{}\left(V\right)\ge {\dim }_{}\left(W\right)$  bedeutet die Regularität, dass ${\left(D\phi \right)}_P$ surjektiv ist. Insbesondere bedeutet bei  ${\dim }_{}\left(V\right)={\dim }_{}\left(W\right)$  die Regularität in $P$, dass das totale Differential bijektiv ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x^2-y,x+xy).$

Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobi-Matrix in einem Punkt  $P=(x,y)$  ist

$\left(\begin{array}{cc}2x& -1\\ 1+y& x\end{array}\right).$

Die Determinante davon ist

$2x^2+1+y,$

sodass die Bedingung

$y\ne -2x^2-1$

die regulären Punkte der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt $(0,0)$ liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, sodass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen $U_1$ und $U_2$ von $(0,0)$ derart, dass die eingeschränkte Abbildung

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2$

bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung).

Wie groß kann dabei $U_1$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen $U((0,0),r)$. Bei  $r>1$  enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form

$(\pm x,-1).$

Diese werden unter $\phi$ auf

$\phi (\pm x,-1)=(x^2-(-1),x+x(-1))=(x^2+1,0)$

abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht injektiv, und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.

Betrachten wir hingegen

$U_1=U((0,0),1)$

und

$U_2:=\phi \left(U_1\right).$

Da $U_1$ keine kritischen Punkte enthält, ist nach Aufgabe 53.38 das Bild $U_2$ offen. Die eingeschränkte Abbildung $\phi {|}_{U_1}:U_1\to U_2$ ist nach Definition von $U_2$ surjektiv, sodass nur die Injektivität zu untersuchen ist.

Das Gleichungssystem

$x^2-y=u\text{ und }x+xy=v$

führt auf

$y=x^2-u$

und auf

$x(1+x^2-u)=x^3+(1-u)x=v.$

Seien $(x,y)$ und $(\tilde{x},\tilde{y})$ aus $U((0,0),1)$ mit

$\phi (x,y)=\phi (\tilde{x},\tilde{y})$

gegeben. Dann ist

$x^3+(1-u)x=v={\tilde{x}}^3+(1-u)\tilde{x}$

und somit

$0=x^3-{\tilde{x}}^3+(1-u)(x-\tilde{x})=(x-\tilde{x})(x^2+x\tilde{x}+{\tilde{x}}^2+1-u).$

Bei  $x=\tilde{x}$  folgt direkt  $y=\tilde{y}$.  Bei  $x\ne \tilde{x}$  muss

$x^2+x\tilde{x}+{\tilde{x}}^2+1-u=0$

sein. Dies bedeutet  $y=x^2-u=-x\tilde{x}-{\tilde{x}}^2-1$  und ebenso  $\tilde{y}=-x\tilde{x}-x^2-1$.  Wegen

$x(y+1)=v$

und  $y+1>0$  müssen $x$ und $v$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch $x$ und $\tilde{x}$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber

$y=-x\tilde{x}-{\tilde{x}}^2-1\le -1,$

sodass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius $1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann. Mit  $U_1=U((0,0),1)$  liegt also eine Bijektion $U_1\to U_2$ vor.

Diffeomorphismen

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien $V_1$ und $V_2$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und $U_1\subseteq V_1$ und $U_2\subseteq V_2$ offene Teilmengen. Eine Abbildung

$\phi :U_1⟶U_2$

heißt $C^k$-Diffeomorphismus, wenn $\phi$ bijektiv und $k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

${\phi }^{-1}:U_2⟶U_1$

ebenfalls $k$-mal stetig differenzierbar ist.

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit besagt also, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit invertierbarem totalen Differential lokal (!) ein $C^1$-Diffeomorphismus ist (es gibt auch $C^k$-Versionen von diesem Satz). Zwei offene Mengen $U_1$ und $U_2$ heißen $C^k$-diffeomorph, wenn es einen $C^k$-Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt. Man spricht auch von einem differenzierbaren Koordinatenwechsel.

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit macht keine Aussage über die Größe der offenen Mengen, auf denen ein Diffeomorphismus vorliegt. Abbildungen, die auf großen und übersichtlichen Teilmengen umkehrbar sind, werden durch Koordinatensysteme bereit gestellt. Wir besprechen hier Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten.

Wir haben gelegentlich für die reelle Ebene (bzw. die komplexen Zahlen) Polarkoordinaten verwendet. Hier besprechen wir Polarkoordinaten in Hinblick auf lokale Umkehrbarkeit.

Beispiel

Die Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(r,\alpha )⟼(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ),$

heißt Polarkoordinatenauswertung. Sie ordnet einem Radius $r$ und einem Winkel $\alpha$ (wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein) denjenigen Punkt der Ebene (in kartesischen Koordinaten) zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels (gemessen von der $x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn) die Strecke $r$ zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt $(r,\alpha )$ stetig differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

$\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -r\sin \alpha \\ \sin \alpha & r\cos \alpha \end{array}\right).$

Diese Abbildung ist nicht injektiv, da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel $\alpha$, periodisch mit der Periode $2\pi$ ist. Bei  $r=0$  ist - unabhängig von $\alpha$ - das Bild gleich $(0,0)$. Ferner ist  $\phi (-r,\alpha +\pi )=\phi (r,\alpha )$.  Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.

Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

$r({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )=r.$

Bei  $r\ne 0$  liegt also nach Satz 26.11 ein bijektives totales Differential vor. Nach dem Satz über die lokale Umkehrabbildung gibt es zu jedem Punkt $(r,\alpha )$ mit  $r\ne 0$  eine offene Umgebung  $(r,\alpha )\in U_1$  und eine bijektive Abbildung

$\phi {|}_{U_1}:U_1⟶U_2=\phi (U_1).$

Bei  $r>0$  kann man beispielsweise als offene Umgebung das offene Rechteck

$U_1=]r-\delta ,r+\delta [\times ]\alpha -ϵ,\alpha +ϵ[$

mit  $r>\delta >0$  und mit  $\pi >ϵ>0$  wählen. Das Bild davon, also $U_2$, ist der Schnitt des (offenen) Kreisringes zu den Radien $r-\delta$ und $r+\delta$ und dem (offenen) Kreissektor, der durch die beiden Winkel $\alpha -ϵ$ und $\alpha +ϵ$ begrenzt ist.

Man kann diese Abbildung zu einer bijektiven Abbildung, und zwar zu einem Diffeomorphismus, auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu

${ℝ}_{+}\times ]-\pi ,\pi [⟶{ℝ}^2\setminus \{(x,0)\mid x\le 0\},(r,\alpha )⟼(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ).$

Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen, siehe insbesondere Satz 16.12. Wenn man das offene Intervall $]-\pi ,\pi [$ durch das halboffene Intervall $]-\pi ,\pi ]$ ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen ${ℝ}_{+}\times ]-\pi ,\pi ]$ und ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$. Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal stetig.

Beispiel

Die Abbildung

${ℝ}^3⟶{ℝ}^3,(r,\theta ,\phi )⟼(r\cos \phi \sin \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \theta ),$

(bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie ${ℝ}_{\ge 0}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]$) nennt man Kugelkoordinatenauswertung. Diese Abbildung bildet die Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\phi )$ auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten $(x,y,z)$ ab.

Die Bedeutung der Kugelkoordinaten ist folgendermaßen: $r$ ist der Abstand von $(x,y,z)$ zum Nullpunkt. Bei  $r=1$  definieren die beiden Winkel $\phi$ und $\theta$ einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt $\phi$ einen Punkt auf dem Einheitskreis in der $x-y$-Ebene (auf dem Äquator) und $\theta$ bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis (der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist), wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für ($r=1$ und) einen festen Winkel $\theta$ parametrisiert $\phi$ einen Breitenkreis, wobei  $\theta =\frac{\pi }{2}$  den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel $\phi$ hingegen parametrisiert $\theta$ den oben angesprochenen Halbkreis, einen Längenkreis. In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ (statt $+$ und $-$ spricht man von nördlicher und südlicher Breite) und nimmt $-\sin \theta$.

Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

$\left(\begin{array}{ccc}\cos \phi \sin \theta & r\cos \phi \cos \theta & -r\sin \phi \sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta & r\sin \phi \cos \theta & r\cos \phi \sin \theta \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right)$

und die Determinante davon ist

$r^2\sin \theta .$

D.h. bei  $r\ne 0$  und  $\theta \notin \mathbb{Z}\pi$  ist das totale Differential invertierbar und daher liegt nach Satz 53.1 ein lokaler Diffeomorphismus vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen ${ℝ}_{+}\times ]0,\pi [\times [0,2\pi [$ und ${ℝ}^3\setminus \{(0,0,z)\mid z\in ℝ\}$ vorliegt.

Fußnoten

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