Es soll der Hauptsatz über endlich erzeugte Abelsche Gruppen vorgestellt werden. Dieser besagt, dass jede
endlich erzeugte
abelsche Gruppe
isomorph
zu einem
Produkt
von
Restklassengruppen
von
, die
zyklisch
sind, ist.
Ein Element eines Produkts lässt sich also durch ein Tupel von Elementen aus den Faktoren charakterisieren.
Auch an die Definition der zyklischen Gruppe soll kurz erinnert werden.
Eine
Gruppe
heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
Es ist leicht zu sehen, dass für alle
die Gruppe
eine zyklische Gruppe ist. Da außerdem alle Elemente einer zyklischen Gruppe (bei additiver Schreibweise) Vielfache des Erzeugers sind, ist auch klar, dass alle zyklischen Gruppen isomorph zu einer solchen Gruppe sind.
Für zyklische Gruppen ist es trivialerweise klar, dass sie den Hauptsatz erfüllen und auch für endliche Produkte davon. Schon bei
Restklassengruppen von Produkten zyklischer Gruppen muss man jedoch ein wenig nachdenken. Identifizieren wir beispielsweise in
willkürlich einige Elemente mit
. Dann müssen wir weitere Elemente miteinander identifizieren, so dass wir wieder eine Gruppe haben (i.e. die Restklassengruppe bilden):
-
Dies ist eine Gruppe, die wir auf jeden Fall durch endlich viele Elemente erzeugen können (es bleiben insgesamt nur endlich viele Elemente übrig), aber für die wir nicht unbedingt eine Produktdarstellung aus zyklischen Gruppen sehen.
- Elementarteilersatz
Der Beweis des Hauptsatzes geht hier über den Zwischenschritt des Elementarteilersatzes. In diesem wird gezeigt, dass sich jede
Matrix über
auf bestimmte Weise in einfach beschreibbare Teiler zerlegen lässt.
Es spielen für den Elementarteilersatz zwei
Elementarmatrizen eine zentrale Rolle und zwar die Folgenden:
Zeilen- bzw. Spaltenvertauschung:
-
Addition des
-fachen der
-ten Zeile zur
-ten Zeile, bzw. des
-fachen der
-ten Spalte zur
-ten Spalte:
-
Von links angewendet beschreiben die
Matrizen jeweils eine Zeilenoperation, von rechts angewendet eine Spaltenoperation. Wegen
und
sind die Matrizen
invertierbar.
Dies wird später im Beweis des Hauptsatzes wichtig. Die Multiplikation einer Zeile oder Spalte mit einem Skalar
ist über
übrigens im Allgemeinen nicht invertierbar, da für die Umkehrabbildung durch
geteilt werden müsste und
außer für
nicht in
liegt.
Es sei
eine
-
Matrix über
. Es sei
das Minimum von
und
und
der
Rang
von
.
Dann gibt es eine Darstellung
-
mit invertierbaren
-
Elementarmatrizen
und
und einer
Diagonalmatrix
.
Für
(kleiner als der Rang von M) teilt
jeweils
und für
gilt
.
Wir schreiben
. Wir führen Induktion über
. Den Induktionsstart beweisen wir, um Wiederholungen zu vermeiden, bei der Rückführung des Induktionsschrittes auf die Induktionsvoraussetzung.
Es sei
also beliebig und die Aussage für
bewiesen. Zu zeigen: Sie gilt auch für
.
Nehmen wir zunächst
an. Dafür betrachten wir die folgenden Fälle:
- Fall: Es gibt
mit
oder
. In diesem Fall kann durch Zeilen- oder Spaltenvertauschungen
erreicht werden.
- Fall: Es gibt kein
mit
oder
. Dann vertauschen wir die erste und die letzte Zeile und die erste und die letzte Spalte. Nun kann die Matrix
betrachtet werden für die
gilt, womit wir für
bei der Induktionsvoraussetzung bezüglich
sind und bei
eine Nullmatrix haben, die die Aussage direkt erfüllt.
Es sei also
.
Nehmen wir außerdem an, dass
alle
teilt, so können wir sukzessive von allen Zeilen mit
das
-fache der ersten Zeile und von allen Spalten mit
das
-fache der ersten Spalte abziehen. Dadurch enthalten die erste Zeile und die erste Spalte nur noch Nullen mit Ausnahme von
. Die Induktionsvoraussetzung für
kann daher auf die Matrix
angewendet werden und für
haben wir trivialerweise eine Diagonalmatrix mit den angegebenen Eigenschaften. Außerdem sind alle
immer noch Vielfache von
. Dies stellt sicher, dass alle folgenden Diagonalelemente
Vielfache von
sind (oder
, wenn (siehe oben) irgendwann eine Nullzeile oder Nullspalte erreicht wurde).
Für den Fall, dass
nicht alle Einträge der Matrix teilt, führen wir eine weitere Induktion über
.
Es sei also
. Dann teilt
alle
und wir sind im schon behandelten Fall.
Für den Induktionsschritt können wir direkt annehmen, dass
nicht alle Einträge teilt. Betrachten wir zwei Fälle:
- Fall: Es gibt ein
mit
oder
, das kein Vielfaches von
ist. Nehmen wir o.B.d.A. an, dass
. Durch Division mit Rest findet sich eine eindeutige Darstellung
mit
. Wir ziehen nun das
-fache der ersten Spalte von der
-ten Spalte ab und vertauschen die beiden Spalten. Dadurch ist
das neue Element in der linken oberen Ecke
und damit wegen
im Bereich der Induktionsvoraussetzung (der inneren Induktion).
- Fall: Es findet sich nur für
ein
, das kein Vielfaches von
ist. In diesem Fall annullieren wir die ersten Einträge der betreffenden Zeile und Spalte, indem wir von der
-ten Spalte das
-fache der ersten Spalte abziehen und genauso von der
-ten Zeile das
-fache der ersten Zeile. Danach addieren wir die
-te Zeile zur ersten Zeile, wodurch in der
-ten Spalte gilt
. Nun kann das selbe Verfahren wie im 1. Fall angewendet werden -
und
mit
finden und damit
auf
reduzieren - und die Situation daher auf die Induktionsvoraussetzung zurückgeführt werden.
Daher gilt der Induktionsschritt zu

für alle

und daher die Aussage für alle

.

Dazu ein kleines Beispiel:
- Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
Für den Hauptsatz brauchen wir noch ein kleines Hilfslemma:
Wir beweisen dies durch Induktion über
.
Induktionsanfang: Es sei
.
Wenn
wird
durch
erzeugt. Andernfalls ist
nicht die Nullgruppe und enthält daher noch weitere Elemente. Es sei
mit
minimal. Behauptung:
wird durch
erzeugt. Es sei
beliebig. Dann liefert Division mit Rest
mit
. Wegen
ist
. Da
minimal ist, muss
sein. Daher wird
tatsächlich durch
erzeugt.
Induktionsvoraussetzung: Es sei jede Untergruppe von
für
endlich erzeugt durch höchstens
Erzeuger (o.B.d.A. können wir hier immer genau
Erzeuger
annehmen).
Induktionsschritt: Wir fixieren eine Untergruppe
. Wir projizieren
kanonisch auf die letzte Komponente:
-
Es gilt
. Daher ist
endlich erzeugt durch
aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Es gilt auch
. Daher ist
endlich erzeugt durch
. Es sei
beliebig. Es gilt
und
. Daher ist
und dies führt zu
-
ist daher endlich erzeugt durch höchstens
Elemente von
.

Wir erinnern außerdem ohne Beweis an folgenden Isomorphiesatz für Gruppen:
Es seien
und
Gruppen
und sei
-
ein surjektiver
Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische
Isomorphie
-
Damit kommen wir zum Hauptsatz.
Es sei
eine
endlich erzeugte
kommutative Gruppe.
Dann ist
das
Produkt
von
zyklischen Gruppen.
D.h. es gibt eine Isomorphie
-

Es sei
ein
Erzeugendensystem
von
. Dann ist die Abbildung
-
ein
surjektiver
Homomorphismus.
Aufgrund von
Satz 6 (Isomorphiesatz für Gruppen)
ist G daher
isomorph
zu
.
enthält nach Definition des
Kerns
genau alle Darstellungen des
neutralen Elements
von
in
. Damit wir
, bzw.
genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.
ist eine
Untergruppe
von
und kann daher aufgrund von
Lemma 5
durch
erzeugt werden, wobei
. Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer
-
Matrix

schreiben. Es gilt dann
-
Der
Satz 3 (Elementarteilersatz)
erlaubt es,
zu schreiben, wobei
und
Hintereinanderschaltungen von über
invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden
und
die Gruppe
auf
ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von
erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von
erzeugten Untergruppe
:
-
Die Matrix
hat aber nach Satz 3 (Elementarteilersatz)
die Form
. Die Gruppe
hat daher die Form
.
Daraus folgt schließlich:

