Kurs:Proseminar:Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (Osnabrück 2011-2012)

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Es soll der Hauptsatz über endlich erzeugte Abelsche Gruppen vorgestellt werden. Dieser besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe isomorph zu einem Produkt von Restklassengruppen von , die zyklisch sind, ist.


Definition  

Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der .

Ein Element eines Produkts lässt sich also durch ein Tupel von Elementen aus den Faktoren charakterisieren.

Auch an die Definition der zyklischen Gruppe soll kurz erinnert werden.


Definition  

Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Es ist leicht zu sehen, dass für alle die Gruppe eine zyklische Gruppe ist. Da außerdem alle Elemente einer zyklischen Gruppe (bei additiver Schreibweise) Vielfache des Erzeugers sind, ist auch klar, dass alle zyklischen Gruppen isomorph zu einer solchen Gruppe sind.

Für zyklische Gruppen ist es trivialerweise klar, dass sie den Hauptsatz erfüllen und auch für endliche Produkte davon. Schon bei Restklassengruppen von Produkten zyklischer Gruppen muss man jedoch ein wenig nachdenken. Identifizieren wir beispielsweise in willkürlich einige Elemente mit . Dann müssen wir weitere Elemente miteinander identifizieren, so dass wir wieder eine Gruppe haben (i.e. die Restklassengruppe bilden):

Dies ist eine Gruppe, die wir auf jeden Fall durch endlich viele Elemente erzeugen können (es bleiben insgesamt nur endlich viele Elemente übrig), aber für die wir nicht unbedingt eine Produktdarstellung aus zyklischen Gruppen sehen.



Elementarteilersatz

Der Beweis des Hauptsatzes geht hier über den Zwischenschritt des Elementarteilersatzes. In diesem wird gezeigt, dass sich jede Matrix über auf bestimmte Weise in einfach beschreibbare Teiler zerlegen lässt.

Es spielen für den Elementarteilersatz zwei Elementarmatrizen eine zentrale Rolle und zwar die Folgenden:

Zeilen- bzw. Spaltenvertauschung:

Addition des -fachen der -ten Zeile zur -ten Zeile, bzw. des -fachen der -ten Spalte zur -ten Spalte:

Von links angewendet beschreiben die Matrizen jeweils eine Zeilenoperation, von rechts angewendet eine Spaltenoperation. Wegen und sind die Matrizen invertierbar. Dies wird später im Beweis des Hauptsatzes wichtig. Die Multiplikation einer Zeile oder Spalte mit einem Skalar ist über übrigens im Allgemeinen nicht invertierbar, da für die Umkehrabbildung durch geteilt werden müsste und außer für nicht in liegt.



Satz (Elementarteilersatz)  

Sei eine -Matrix über . Sei das Minimum von und und der Rang von .

Dann gibt es eine Darstellung

mit invertierbaren -Elementarmatrizen und und einer Diagonalmatrix .

Für (kleiner als der Rang von M) teilt jeweils und für gilt .

Beweis  

Wir schreiben . Wir führen Induktion über . Den Induktionsstart beweisen wir, um Wiederholungen zu vermeiden, bei der Rückführung des Induktionsschrittes auf die Induktionsvoraussetzung.

Sei also beliebig und die Aussage für bewiesen. Zu zeigen: Sie gilt auch für .

Nehmen wir zunächst an. Dafür betrachten wir die folgenden Fälle:

  1. Fall: Es gibt mit oder . In diesem Fall kann durch Zeilen- oder Spaltenvertauschungen erreicht werden.
  2. Fall: Es gibt kein mit oder . Dann vertauschen wir die erste und die letzte Zeile und die erste und die letzte Spalte. Nun kann die Matrix betrachtet werden für die gilt, womit wir für bei der Induktionsvoraussetzung bezüglich sind und bei eine Nullmatrix haben, die die Aussage direkt erfüllt.

Sei also .

Nehmen wir außerdem an, dass alle teilt, so können wir sukzessive von allen Zeilen mit das -fache der ersten Zeile und von allen Spalten mit das -fache der ersten Spalte abziehen. Dadurch enthalten die erste Zeile und die erste Spalte nur noch Nullen mit Ausnahme von . Die Induktionsvoraussetzung für kann daher auf die Matrix angewendet werden und für haben wir trivialerweise eine Diagonalmatrix mit den angegebenen Eigenschaften. Außerdem sind alle immer noch Vielfache von . Dies stellt sicher, dass alle folgenden Diagonalelemente Vielfache von sind (oder , wenn (siehe oben) irgendwann eine Nullzeile oder Nullspalte erreicht wurde).

Für den Fall, dass nicht alle Einträge der Matrix teilt, führen wir eine weitere Induktion über .

Sei also . Dann teilt alle und wir sind im schon behandelten Fall.

Für den Induktionsschritt können wir direkt annehmen, dass nicht alle Einträge teilt. Betrachten wir zwei Fälle:

  1. Fall: Es gibt ein mit oder , das kein Vielfaches von ist. Nehmen wir o.B.d.A. an, dass . Durch Division mit Rest findet sich eine eindeutige Darstellung mit . Wir ziehen nun das -fache der ersten Spalte von der -ten Spalte ab und vertauschen die beiden Spalten. Dadurch ist das neue Element in der linken oberen Ecke und damit wegen im Bereich der Induktionsvoraussetzung (der inneren Induktion).
  2. Fall: Es findet sich nur für ein , das kein Vielfaches von ist. In diesem Fall annullieren wir die ersten Einträge der betreffenden Zeile und Spalte, indem wir von der -ten Spalte das -fache der ersten Spalte abziehen und genauso von der -ten Zeile das -fache der ersten Zeile. Danach addieren wir die -te Zeile zur ersten Zeile, wodurch in der -ten Spalte gilt . Nun kann das selbe Verfahren wie im 1. Fall angewendet werden - und mit finden und damit auf reduzieren - und die Situation daher auf die Induktionsvoraussetzung zurückgeführt werden.
  Daher gilt der Induktionsschritt zu für alle und daher die Aussage für alle .


Dazu ein kleines Beispiel:


Beispiel  

Wir lösen nach dem im Beweis zu Satz 3 (Elementarteilersatz) beschriebenen Verfahren die -Matrix auf.

Es greift zunächst Fall 2 der unteren Fallunterscheidung:

Für diese Matrix können wir vorgehen wie in Fall 1 der unteren Fallunterscheidung.


Die innere Induktion erlaubt hier also einen Sprung zu einem kleineren . Hier ist das 1 und damit teilt es alle Elemente. Dies erlaubt folgendes Vorgehen:

Nun können wir einen Rekursionsschritt bezüglich der inneren Induktion anwenden und uns auf die kleine Teilmatrix unten rechts konzentrieren. Das weitere Vorgehen nach dem Verfahren sieht folgendermaßen aus:

Die resultierende Matrix hat Diagonalform. Es gilt insgesamt

und




Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Für den Hauptsatz brauchen wir noch ein kleines Hilfslemma:



Lemma  

Jede Untergruppe von lässt sich durch höchstens Elemente erzeugen.

Beweis  

Wir beweisen dies durch Induktion über .

Induktionsanfang: Sei .

Wenn wird durch erzeugt. Andernfalls ist nicht die Nullgruppe und enthält daher noch weitere Elemente. Sei mit minimal. Behauptung: wird durch erzeugt. Sei beliebig. Dann liefert Division mit Rest mit . Wegen ist . Da minimal ist, muss sein. Daher wird tatsächlich durch erzeugt.

Induktionsvoraussetzung: Sei jede Untergruppe von für endlich erzeugt durch höchstens Erzeuger (o.B.d.A. können wir hier immer genau Erzeuger annehmen).

Induktionsschritt: Wir fixieren eine Untergruppe . Wir projizieren kanonisch auf die letzte Komponente:

Es gilt . Daher ist endlich erzeugt durch aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Es gilt auch . Daher ist endlich erzeugt durch . Sei beliebig. Es gilt und . Daher ist und dies führt zu

ist daher endlich erzeugt durch höchstens Elemente von .

Wir erinnern außerdem ohne Beweis an folgenden Isomorphiesatz für Gruppen:


Satz (Isomorphiesatz für Gruppen)

Seien und Gruppen und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

Damit kommen wir zum Hauptsatz.



Satz (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen)  

Sei eine endlich erzeugte kommutative Gruppe.

Dann ist das Produkt von zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie

Beweis  

Sei ein Erzeugendensystem von . Dann ist die Abbildung

ein surjektiver Homomorphismus. Aufgrund von Satz 6 (Isomorphiesatz für Gruppen) ist G daher isomorph zu .


enthält nach Definition des Kerns genau alle Darstellungen des neutralen Elements von in . Damit wir , bzw. genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.

ist eine Untergruppe von und kann daher aufgrund von Lemma 5 durch erzeugt werden, wobei . Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer -Matrix

schreiben. Es gilt dann

Der Satz 3 (Elementarteilersatz) erlaubt es, zu schreiben, wobei und Hintereinanderschaltungen von über invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden und die Gruppe auf ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von erzeugten Untergruppe :

Die Matrix hat aber nach Satz 3 (Elementarteilersatz) die Form . Die Gruppe hat daher die Form .

Daraus folgt schließlich: