Kurs:Proseminar:Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (Osnabrück 2011-2012)

Es soll der Hauptsatz über endlich erzeugte Abelsche Gruppen vorgestellt werden. Dieser besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe isomorph zu einem Produkt von Restklassengruppen von ${}(\mathbb {Z} ,+)$, die zyklisch sind, ist.

Definition

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}\,$

die Produktmenge der ${}M_{i}$.

Ein Element eines Produkts lässt sich also durch ein Tupel von Elementen aus den Faktoren charakterisieren.

Auch an die Definition der zyklischen Gruppe soll kurz erinnert werden.

Definition

Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Es ist leicht zu sehen, dass für alle ${}n\in \mathbb {N}$ die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ eine zyklische Gruppe ist. Da außerdem alle Elemente einer zyklischen Gruppe (bei additiver Schreibweise) Vielfache des Erzeugers sind, ist auch klar, dass alle zyklischen Gruppen isomorph zu einer solchen Gruppe sind.

Für zyklische Gruppen ist es trivialerweise klar, dass sie den Hauptsatz erfüllen und auch für endliche Produkte davon. Schon bei Restklassengruppen von Produkten zyklischer Gruppen muss man jedoch ein wenig nachdenken. Identifizieren wir beispielsweise in ${}\mathbb {Z} ^{2}$ willkürlich einige Elemente mit ${}0$. Dann müssen wir weitere Elemente miteinander identifizieren, so dass wir wieder eine Gruppe haben (i.e. die Restklassengruppe bilden):

$\mathbb {Z} ^{2}/\left({\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\-18\end{pmatrix}}\right).$

Dies ist eine Gruppe, die wir auf jeden Fall durch endlich viele Elemente erzeugen können (es bleiben insgesamt nur endlich viele Elemente übrig), aber für die wir nicht unbedingt eine Produktdarstellung aus zyklischen Gruppen sehen.

Elementarteilersatz

Der Beweis des Hauptsatzes geht hier über den Zwischenschritt des Elementarteilersatzes. In diesem wird gezeigt, dass sich jede Matrix über ${}\mathbb {Z}$ auf bestimmte Weise in einfach beschreibbare Teiler zerlegen lässt.

Es spielen für den Elementarteilersatz zwei Elementarmatrizen eine zentrale Rolle und zwar die Folgenden:

Zeilen- bzw. Spaltenvertauschung:

$V_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$

Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile zur ${}i$-ten Zeile, bzw. des ${}a$-fachen der ${}i$-ten Spalte zur ${}j$-ten Spalte:

$A_{ij}(a)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &a&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\ddots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$

Von links angewendet beschreiben die Matrizen jeweils eine Zeilenoperation, von rechts angewendet eine Spaltenoperation. Wegen ${}A_{ij}(a)\circ A_{ij}(-a)=E_{n}$ und ${}V_{ij}\circ V_{ij}=E_{n}$ sind die Matrizen invertierbar. Dies wird später im Beweis des Hauptsatzes wichtig. Die Multiplikation einer Zeile oder Spalte mit einem Skalar ${}s$ ist über ${}\mathbb {Z}$ übrigens im Allgemeinen nicht invertierbar, da für die Umkehrabbildung durch ${}s$ geteilt werden müsste und ${}s^{-1}$ außer für ${}s=1,-1$ nicht in ${}\mathbb {Z}$ liegt.

Satz (Elementarteilersatz)

Sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}\mathbb {Z}$. Sei ${}k={\min {\left(m,n\right)}}$ das Minimum von ${}m$ und ${}n$ und ${}s=\operatorname {rang} \,M$ der Rang von ${}M$.

Dann gibt es eine Darstellung

$M=L_{1}\cdots L_{p}\cdot D\cdot R_{q}\cdots R_{1}$

mit invertierbaren ${}\mathbb {Z}$-Elementarmatrizen ${}L_{1},\ldots ,L_{p}$ und ${}R_{1},\ldots ,R_{q}$ und einer Diagonalmatrix ${}D=Diag(n_{1},\ldots ,n_{k})$.

Für ${}i<s$ (kleiner als der Rang von M) teilt ${}n_{i}$ jeweils ${}n_{i+1}$ und für ${}i>s$ gilt ${}n_{i}=0$.

Beweis

Wir schreiben ${}M=(a_{i,j})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$. Wir führen Induktion über ${}k$. Den Induktionsstart beweisen wir, um Wiederholungen zu vermeiden, bei der Rückführung des Induktionsschrittes auf die Induktionsvoraussetzung.

Sei ${}k_{0}\in \mathbb {N}$ also beliebig und die Aussage für ${}k<k_{0}$ bewiesen. Zu zeigen: Sie gilt auch für ${}k=k_{0}$.

Nehmen wir zunächst ${}a_{1,1}=0$ an. Dafür betrachten wir die folgenden Fälle:

1. Fall: Es gibt ${}a_{i,j}\neq 0$ mit ${}i=1$ oder ${}j=1$. In diesem Fall kann durch Zeilen- oder Spaltenvertauschungen ${}a_{1,1}\neq 0$ erreicht werden.
2. Fall: Es gibt kein ${}a_{i,j}\neq 0$ mit ${}i=1$ oder ${}j=1$. Dann vertauschen wir die erste und die letzte Zeile und die erste und die letzte Spalte. Nun kann die Matrix ${}(a_{i,j})_{1\leq i\leq m-1,1\leq j\leq n-1}$ betrachtet werden für die ${}k<k_{0}$ gilt, womit wir für ${}k>1$ bei der Induktionsvoraussetzung bezüglich ${}k$ sind und bei ${}k=1$ eine Nullmatrix haben, die die Aussage direkt erfüllt.

Sei also ${}a_{1,1}\neq 0$.

Nehmen wir außerdem an, dass ${}a_{1,1}$ alle ${}a_{i,j}$ teilt, so können wir sukzessive von allen Zeilen mit ${}i>1$ das ${}{\frac {a_{i,1}}{a_{1,1}}}$-fache der ersten Zeile und von allen Spalten mit ${}j>1$ das ${}{\frac {a_{1,j}}{a_{1,1}}}$-fache der ersten Spalte abziehen. Dadurch enthalten die erste Zeile und die erste Spalte nur noch Nullen mit Ausnahme von ${}a_{1,1}$. Die Induktionsvoraussetzung für ${}k>1$ kann daher auf die Matrix ${}M_{2}=(a_{i,j})_{2\leq i\leq m,2\leq j\leq n}$ angewendet werden und für ${}k=1$ haben wir trivialerweise eine Diagonalmatrix mit den angegebenen Eigenschaften. Außerdem sind alle ${}a_{i,j}$ immer noch Vielfache von ${}a_{1,1}$. Dies stellt sicher, dass alle folgenden Diagonalelemente ${}n_{i}$ Vielfache von ${}n_{1}=a_{1,1}$ sind (oder ${}0$, wenn (siehe oben) irgendwann eine Nullzeile oder Nullspalte erreicht wurde).

Für den Fall, dass ${}a_{1,1}$ nicht alle Einträge der Matrix teilt, führen wir eine weitere Induktion über ${}\vert {a_{1,1}}\vert$.

Sei also ${}\vert {a_{1,1}}\vert =1$. Dann teilt ${}a_{1,1}$ alle ${}a_{i,j}$ und wir sind im schon behandelten Fall.

Für den Induktionsschritt können wir direkt annehmen, dass ${}a_{1,1}$ nicht alle Einträge teilt. Betrachten wir zwei Fälle:

1. Fall: Es gibt ein ${}a_{i,j}$ mit ${}i=1$ oder ${}j=1$, das kein Vielfaches von ${}b:=a_{1,1}$ ist. Nehmen wir o.B.d.A. an, dass ${}i=1$. Durch Division mit Rest findet sich eine eindeutige Darstellung ${}a_{1,j}=cb+r$ mit ${}0<r<\vert {b}\vert$. Wir ziehen nun das ${}c$-fache der ersten Spalte von der ${}j$-ten Spalte ab und vertauschen die beiden Spalten. Dadurch ist ${}r$ das neue Element in der linken oberen Ecke ${}(a_{1,1}=r)$ und damit wegen ${}0<r<\vert {b}\vert$ im Bereich der Induktionsvoraussetzung (der inneren Induktion).
2. Fall: Es findet sich nur für ${}i,j\geq 2$ ein ${}a_{i,j}$, das kein Vielfaches von ${}a_{1,1}$ ist. In diesem Fall annullieren wir die ersten Einträge der betreffenden Zeile und Spalte, indem wir von der ${}j$-ten Spalte das ${}{\frac {a_{1,j}}{a_{1,1}}}$-fache der ersten Spalte abziehen und genauso von der ${}i$-ten Zeile das ${}{\frac {a_{i,1}}{a_{1,1}}}$-fache der ersten Zeile. Danach addieren wir die ${}i$-te Zeile zur ersten Zeile, wodurch in der ${}j$-ten Spalte gilt ${}a_{1,j}=a_{i,j}$. Nun kann das selbe Verfahren wie im 1. Fall angewendet werden - ${}c$ und ${}r$ mit ${}a_{1,j}=ca_{1,1}+r$ finden und damit ${}a_{1,1}$ auf ${}r$ reduzieren - und die Situation daher auf die Induktionsvoraussetzung zurückgeführt werden.

  Daher gilt der Induktionsschritt zu ${}k=k_{0}$ für alle ${}\vert {a_{1,1}}\vert$ und daher die Aussage für alle ${}k$.

$\Box$

Dazu ein kleines Beispiel:

Beispiel

Wir lösen nach dem im Beweis zu Satz 3 (Elementarteilersatz) beschriebenen Verfahren die ${}2\times 3$-Matrix ${}M={\begin{pmatrix}2&-4&-2\\6&-3&-18\end{pmatrix}}$ auf.

Es greift zunächst Fall 2 der unteren Fallunterscheidung:

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&-4&-2\\6&-3&-18\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}2&0&-2\\6&9&-18\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&0&-2\\0&9&-12\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&0&-2\\9&9&-12\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&=L_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2&0&-2\\9&9&-12\end{pmatrix}}\cdot R_{2}\cdot R_{1}.\end{aligned}}$

Für diese Matrix können wir vorgehen wie in Fall 1 der unteren Fallunterscheidung.

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2&0&-2\\9&9&-12\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&0&-2\\1&9&-4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&-4\\2&0&-2\end{pmatrix}}\\&=L_{2}\cdot L_{3}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&-4\\2&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Die innere Induktion erlaubt hier also einen Sprung zu einem kleineren ${}\vert {a_{1,1}}\vert$. Hier ist das 1 und damit teilt es alle Elemente. Dies erlaubt folgendes Vorgehen:

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&9&-4\\2&0&-2\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&-4\\0&-18&6\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&-4\\0&-18&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-18&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&-4\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&9&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&=L_{4}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-18&6\end{pmatrix}}\cdot R_{4}\cdot R_{3}.\end{aligned}}$

Nun können wir einen Rekursionsschritt bezüglich der inneren Induktion anwenden und uns auf die kleine Teilmatrix unten rechts konzentrieren. Das weitere Vorgehen nach dem Verfahren sieht folgendermaßen aus:

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-18&6\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&-18\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-3\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}\cdot R_{6}\cdot R_{5}.\end{aligned}}$

Die resultierende Matrix hat Diagonalform. Es gilt insgesamt

${}{\begin{aligned}M&={\begin{pmatrix}2&-4&-2\\6&-3&-18\end{pmatrix}}\\&=(L_{1}\cdots L_{4})\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}\cdot (R_{6}\cdots R_{1})\\&={\begin{pmatrix}2&1\\15&7\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-8&25&-4\\3&-9&1\\-1&3&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

$D={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\end{pmatrix}}.$

Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Für den Hauptsatz brauchen wir noch ein kleines Hilfslemma:

Lemma

Jede Untergruppe ${}U$ von ${}\mathbb {Z} ^{m}$ lässt sich durch höchstens ${}m$ Elemente erzeugen.

Beweis

Wir beweisen dies durch Induktion über ${}m$.

Induktionsanfang: Sei ${}m=1$.

Wenn ${}U={0}$ wird ${}U$ durch ${}0$ erzeugt. Andernfalls ist ${}U$ nicht die Nullgruppe und enthält daher noch weitere Elemente. Sei ${}a\in U$ mit ${}\vert {a}\vert \neq 0$ minimal. Behauptung: ${}U$ wird durch ${}a$ erzeugt. Sei ${}x\in U$ beliebig. Dann liefert Division mit Rest ${}x=aq+r$ mit ${}0\leq r<\vert {a}\vert$. Wegen ${}r=x-aq$ ist ${}r\in U$. Da ${}a$ minimal ist, muss ${}r=0$ sein. Daher wird ${}U$ tatsächlich durch ${}a$ erzeugt.

Induktionsvoraussetzung: Sei jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{m_{0}}$ für ${}m_{0}<m$ endlich erzeugt durch höchstens ${}m_{0}$ Erzeuger (o.B.d.A. können wir hier immer genau ${}m_{0}$ Erzeuger ${}y_{1},\ldots ,y_{m_{0}}$ annehmen).

Induktionsschritt: Wir fixieren eine Untergruppe ${}U\subseteq \mathbb {Z} ^{m}$. Wir projizieren ${}\mathbb {Z} ^{m}$ kanonisch auf die letzte Komponente:

$p\colon \mathbb {Z} ^{m}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a_{1},\ldots ,a_{m})\longmapsto a_{m}.$

Es gilt ${}\operatorname {kern} p=\mathbb {Z} ^{m-1}$. Daher ist ${}U\cap \operatorname {kern} p$ endlich erzeugt durch ${}y_{1},\ldots ,y_{m-1}$ aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Es gilt auch ${}\operatorname {bild} p=\mathbb {Z}$. Daher ist ${}p(U)$ endlich erzeugt durch ${}z=p(y_{m})$. Sei ${}y\in U$ beliebig. Es gilt ${}p(y)=a_{m}z$ und ${}y'=y-a_{m}y_{m}\in U\cap \operatorname {kern} p$. Daher ist ${}y'=a_{1}y_{1}+\ldots +a_{m-1}y_{m-1}$ und dies führt zu

$y=a_{1}y_{1}+...+a_{m}y_{m}.$

${}U$ ist daher endlich erzeugt durch höchstens ${}m$ Elemente von ${}U$.

$\Box$

Wir erinnern außerdem ohne Beweis an folgenden Isomorphiesatz für Gruppen:

Satz (Isomorphiesatz für Gruppen)

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$

Damit kommen wir zum Hauptsatz.

Satz (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen)

Sei ${}G$ eine endlich erzeugte kommutative Gruppe.

Dann ist ${}G$ das Produkt von zyklischen Gruppen. D.h. es gibt eine Isomorphie

${}G\cong \mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,.$

Beweis

Sei ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}G$. Dann ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{m}\longrightarrow G,\,(a_{1},\ldots ,a_{m})\longmapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}$

ein surjektiver Homomorphismus. Aufgrund von Satz 6 (Isomorphiesatz für Gruppen) ist G daher isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi$.

${}\operatorname {kern} \varphi$ enthält nach Definition des Kerns genau alle Darstellungen des neutralen Elements von ${}G$ in ${}\mathbb {Z} ^{m}$. Damit wir ${}G$, bzw. ${}\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi$ genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.

${}\operatorname {kern} \varphi$ ist eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{m}$ und kann daher aufgrund von Lemma 5 durch ${}y_{1},\ldots ,y_{n},y_{i}\in \mathbb {Z} ^{m}$ erzeugt werden, wobei ${}n\leq m$. Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer ${}m\times n$-Matrix

${}M$ schreiben. Es gilt dann

$\operatorname {bild} M=\operatorname {kern} \varphi .$

Der Satz 3 (Elementarteilersatz) erlaubt es, ${}M=LDR$ zu schreiben, wobei ${}L=L_{1}\cdots L_{p}$ und ${}R=R_{q}\cdots R_{1}$ Hintereinanderschaltungen von über ${}\mathbb {Z}$ invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden ${}L$ und ${}R$ die Gruppe ${}\mathbb {Z} ^{m}$ auf ${}\mathbb {Z} ^{m}$ ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von ${}M$ erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von ${}L^{-1}MR^{-1}=D$ erzeugten Untergruppe ${}\operatorname {bild} D$:

${\begin{array}{rcl}\mathbb {Z} ^{m}&{\stackrel {L^{-1}\cdot \Box \cdot R^{-1}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{m}\\\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} M&{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} L^{-1}MR^{-1}\\\end{array}}$

Die Matrix ${}D$ hat aber nach Satz 3 (Elementarteilersatz) die Form ${}\operatorname {Diag} (n_{1},\ldots ,n_{s},0,\ldots ,0)$. Die Gruppe ${}\operatorname {bild} D$ hat daher die Form ${}(n_{1})\times \cdots \times (n_{s})\times 0\times \cdots \times 0$.

Daraus folgt schließlich:

${}{\begin{aligned}G&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi \\&=\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} M\\&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} D\\&=\mathbb {Z} ^{m}/((n_{1})\times \cdots \times (n_{s})\times 0\times \cdots \times 0)\\&=\mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\times \mathbb {Z} ^{r}.\end{aligned}}$

$\Box$