Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung

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Zielsetzung[Bearbeiten]

Zielsetzung einer Algebraerweiterung zu einer gegebenen topologischen Algebra mit ist es, die topologisch Algebra so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element enthält. Das folgenden Diagramm veranschaulicht den Sachverhalt:

Veranschaulichung[Bearbeiten]

Algebraerweiterung von , die ein inverses Element zu einem gegebenen enthält.

Algebraerweiterung

Algebraerweiterung - Zahlbereichserweiterung[Bearbeiten]

Untersuchen Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede bzgl. Algebraerweiterungen in der Funktionalanalysis und den Zahlbereichserweiterungen im Kontext der Schule.

Unlösbare Aufgaben in der Primarstufe[Bearbeiten]

In der Primarstufe können in dem Zahlbereich der natürlichen Zahlen Aufgaben formuliert werden, die aber in nicht lösbar sind. Daraus ergibt sich eine Zahlbereichserweiterung wie folgt:

  • () Aufgabe (bzw. ) in formuliert aber in nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf .
  • () Aufgabe (bzw. ) in formuliert aber in nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf .
  • () Zu diesem unlösbaren Aufgabentyp gehören auch die multiplikativen Inversen, z.B. .

Unlösbare Aufgaben in der Sekundarstufe[Bearbeiten]

Die unlösbaren Aufgaben ergeben sich aus quadratischen Gleichungen

  • () Aufgabe in formuliert aber in nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf .
  • () Aufgabe in formuliert aber in nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf (siehe auch komplexe Zahlen).

Analogien und Unterschiede[Bearbeiten]

Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen den Zahlbereichserweiterungen in der Schule und den Algebraerweiterungen und der Untersuchung von topologischen Invertierbarkeitskriterien?

Definition: Algebrahomomorphismus[Bearbeiten]

Seien und zwei Algebren über dem Körper und eine Abbildung von nach . heißt Algebrahomomorphismus die verträglich mit den Verknüpfungen auf der Algebra ist, d.h.:

  • (AH1) Für alle , gilt:
  • (AH2) Für alle gilt:
  • (AH3) Für alle Für alle gilt:

Wenn der Algebrahomomorphismus zusätzlich bijektiv ist, nennt man Algebraisomorphismus.

Bemerkung: Notation für die inneren Verknüpfungen in den Algebren[Bearbeiten]

Der Index bei den inneren Verknüpfungen bezeichnet die Algebren, auf denen die inneren Verknüpfungen definiert sind. In der Regel werden die Bezeichnungen bei Algebraerweiterung durch Notation nicht unterschieden.

Definition: Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Sei eine Klasse von unitalen Algebren und , dann heißt Algebraerweiterung, Oberalgebra oder -Erweiterung von , falls es einen Algebraisomorphismus gibt mit:

  • , wobei ist das Einselement von und das Einselement von ist.
  • ist homöomorph zu ; d.h. und sind stetig.

Bemerkung[Bearbeiten]

  • Im allgemeinen identifiziert man mit und schreibt .
  • Sei eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von auf und eine Nullumgebungsbasis von , dann kann man die Homöomorphie zwischen und wie folgt beschreiben:

Stetigkeit und Minkowskifunktionale[Bearbeiten]

Betrachtet man die Minkowskifunktionale und für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

Bemerkung Topologieerzeugung[Bearbeiten]

Falls in einem topologieerzeugenden System von Minkowskifunktionalen nicht mit jedem auch in dem System liegt, treten in der Ungleichung jeweils von bzw. abhängige Konstanten auf.

Definition: Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen[Bearbeiten]

Sei eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen bzw. definiert sind. Die beiden Gaugefunktionalsystem heißen äquivalent, wenn für diese gilt:

und umgekehrt

Bemerkung: Implikation der Konvergenz[Bearbeiten]

  • Die erste Bedingung in der obigen Definition liefert, dass ein Netz , das bzgl. konvergiert auch in der von erzeugten Topologie konvergiert.
  • Die zweite Bedingung liefert umgekehrt, dass bzgl. konvergiert, wenn das Netz auch bzgl. konvergiert.

Definition: isometrische Erweiterung von Gaugefunktionalsystemen[Bearbeiten]

Sei eine -Algebraerweiterung von mit den topologieerzeugenden Systemen von Gaugefunktionalen auf bzw. auf . Die Algebraerweiterung nennt isometrisch, falls gilt:

und umgekehrt

Definition: K-regulär - K-singulär[Bearbeiten]

Sei eine Klasse topologischer Algebren mit Einselement und eine Algebra. Ein Element der Algebra heißt -regulär (Bezeichnung: ), falls es eine -Erweiterung von gibt, in der invertierbar ist. Falls dies nicht möglich ist, heißt -singulär oder permanent singulär in jeder -Erweiterung von .

Bemerkung: Polynomalgebra[Bearbeiten]

Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung ist es für einige Algebrenklassen notwendig, die Erweiterung auf die Algebra der Polynome zu betrachten. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung konstruiert wird.

Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A

Bemerkung: regulär - K-regulär[Bearbeiten]

Jedes reguläre Element ist zugleich auch -regulär, da reguläre Elemente bereits in der Algebra selbst invertierbar sind, in natürlicher Weise eine Algebraerweiterung von sich darstellt, in der das inverse Element existiert. Daher gilt .

Definition: Absolutcharakter[Bearbeiten]

Die -Singularität besitzt Absolutcharakter, falls aus -Singularität -Singularität folgt.

Augaben für Lernende[Bearbeiten]

Die Aufgaben beziehen sich auf die topologieerzeugenden Gaugefunktionalsysteme und die Äquivalenz dieser Systeme. Diese Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme wird für die Einbettung der Algebraerweiterung von in benötigt, damit man die Stetigkeit der Einbettung und der Umkehrabbildung nachweisen kann.


Aufgabe 1: Bezug unter Unterschiede zum Satz von Hahn-Banach[Bearbeiten]

Betrachten Sie den Satz von Hahn-Banach und die Erweiterung von linearen Funktionalen von einem Unterrraum auf den gesamten Vektorraum .

  • Welche topologischen Gemeinsamkeiten und Unterschiede sehen Sie bei der Erweitung von linearen Funktionalen (Hahn-Banach) und der Algebraerweiterung?
  • Wie kann man aus einem linearen Funktional ein Halbnorm auf erzeugen und mit der Erweiterung von auf eine Halbnorm auf ?

Aufgabe 2: Konvergenz in äquivalenten Gaugefunktionalsystemen[Bearbeiten]

Sei eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen bzw. definiert sind. Ferner sei ein Netz in gegeben.

  • Notieren Sie dazu zunächst die Konvergenz bzgl. der topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen und formal.
  • Zeigen Sie, dass in einer Algebra ein Netz genau der dann in konvergiert, wenn es auch bzgl. konvergiert.

Aufgabe 3: Algebraerweiterungen von Matrixalgebren[Bearbeiten]

Sei die nicht-kommunitive Algebra der 2x2-Matrizen über mit der euklidischen Norm:

Aufgabe 3a: Polynomalgebraerweiterungen von Matrixalgebren[Bearbeiten]

Erzeugen Sie eine Polynomalgebra mit Koeffizienten in und topologisieren Sie den Raum ebenfalls mit einer Norm.


Definition 3b: Matrxixalgebraerweiterungen von Matrixalgebren[Bearbeiten]

Betten Sie in den Raum der 3x3-Matrizen über ein.

Aufgabe 3c: Matrixalgebraerweiterungen von Matrixalgebren[Bearbeiten]

Ist über die mit definierte Abbildung eine Algebraerweiterung definiert worden? Überprüfen Sie die Eigenschaften!

  • Zeigen Sie, dass bijektiv nach ist.
  • Verwenden Sie den Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, um die Stetigkeit von und nachzuweisen.
  • Können Sie ein Element in der ursprünglichen Algebra der -Matrizen angeben, das in nicht invertierbar ist, aber bei dem Sie in ein inverses Element aus nach der Einbettung angeben können? (Hinweis: Sind nicht-invertierbare Matrizen Nullteiler in ?)

Siehe auch[Bearbeiten]

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