Zielsetzung einer Algebraerweiterung
zu einer gegebenen topologischen Algebra
mit
ist es, die topologisch Algebra so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element
enthält. Das folgenden Diagramm veranschaulicht den Sachverhalt:
Algebraerweiterung
von
, die ein inverses Element
zu einem gegebenen
enthält.
Algebraerweiterung - Zahlbereichserweiterung[Bearbeiten]
Untersuchen Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede bzgl. Algebraerweiterungen in der Funktionalanalysis und den Zahlbereichserweiterungen im Kontext der Schule.
Unlösbare Aufgaben in der Primarstufe[Bearbeiten]
In der Primarstufe können in dem Zahlbereich der natürlichen Zahlen
Aufgaben formuliert werden, die aber in
nicht lösbar sind. Daraus ergibt sich eine Zahlbereichserweiterung wie folgt:
- (
) Aufgabe
(bzw.
) in
formuliert aber in
nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf
.
- (
) Aufgabe
(bzw.
) in
formuliert aber in
nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf
.
- (
) Zu diesem unlösbaren Aufgabentyp gehören auch die multiplikativen Inversen, z.B.
.
Unlösbare Aufgaben in der Sekundarstufe[Bearbeiten]
Die unlösbaren Aufgaben ergeben sich aus quadratischen Gleichungen
- (
) Aufgabe
in
formuliert aber in
nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf
.
- (
) Aufgabe
in
formuliert aber in
nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf
(siehe auch komplexe Zahlen).
Analogien und Unterschiede[Bearbeiten]
Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen den Zahlbereichserweiterungen in der Schule und den Algebraerweiterungen und der Untersuchung von topologischen Invertierbarkeitskriterien?
Definition: Algebrahomomorphismus[Bearbeiten]
Seien
und
zwei Algebren über dem Körper
und
eine Abbildung von
nach
.
heißt Algebrahomomorphismus die
verträglich mit den Verknüpfungen auf der Algebra ist, d.h.:
- (AH1) Für alle
,
gilt: 
- (AH2) Für alle
gilt: 
- (AH3) Für alle Für alle
gilt: 
Wenn der Algebrahomomorphismus zusätzlich bijektiv ist, nennt man
Algebraisomorphismus.
Bemerkung: Notation für die inneren Verknüpfungen in den Algebren[Bearbeiten]
Der Index bei den inneren Verknüpfungen bezeichnet die Algebren, auf denen die inneren Verknüpfungen definiert sind. In der Regel werden die Bezeichnungen bei Algebraerweiterung durch Notation nicht unterschieden.
Definition: Algebraerweiterung[Bearbeiten]
Sei
eine Klasse von unitalen Algebren und
, dann heißt
Algebraerweiterung, Oberalgebra oder
-Erweiterung von
, falls es einen Algebraisomorphismus
gibt mit:
, wobei
ist das Einselement von
und
das Einselement von
ist.
ist homöomorph zu
; d.h.
und
sind stetig.
Bemerkung - unitale Algebren[Bearbeiten]
Eine topologische Algebra
der Klasse
heißt unital, wenn
ein Einselement der Multiplikation besitzt. Der Begriff kommt von "unit" als "Einheit" bzw. "Einselement".
- Im allgemeinen identifiziert man
mit
und schreibt
.
- Sei
eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von
auf
und
eine Nullumgebungsbasis von
, dann kann man die Homöomorphie zwischen
und
wie folgt beschreiben:

Stetigkeit und Minkowskifunktionale[Bearbeiten]
Betrachtet man die Minkowskifunktionale
und
für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

Bemerkung Topologieerzeugung[Bearbeiten]
Falls in einem topologieerzeugenden System von Minkowskifunktionalen
nicht mit jedem
auch
in dem System
liegt, treten in der Ungleichung jeweils von
bzw.
abhängige
Konstanten auf.
Definition: Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen[Bearbeiten]
Sei
eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen
bzw.
definiert sind. Die beiden Gaugefunktionalsystem heißen äquivalent, wenn für diese gilt:

und umgekehrt

Bemerkung: Implikation der Konvergenz[Bearbeiten]
- Die erste Bedingung in der obigen Definition liefert, dass ein Netz
, das bzgl.
konvergiert auch in der von
erzeugten Topologie konvergiert.
- Die zweite Bedingung liefert umgekehrt, dass
bzgl.
konvergiert, wenn das Netz auch bzgl.
konvergiert.
Definition: isometrische Erweiterung von Gaugefunktionalsystemen[Bearbeiten]
Sei
eine
-Algebraerweiterung von
mit den
topologieerzeugenden Systemen von Gaugefunktionalen
auf
bzw.
auf
. Die Algebraerweiterung nennt isometrisch, falls gilt:

und umgekehrt

Definition: K-regulär - K-singulär[Bearbeiten]
Sei
eine Klasse topologischer Algebren mit Einselement und
eine Algebra. Ein Element
der
Algebra
heißt
-regulär
(Bezeichnung:
), falls es
eine
-Erweiterung
von
gibt, in der
invertierbar ist.
Falls dies nicht möglich ist, heißt
-singulär oder
permanent singulär in jeder
-Erweiterung von
.
Bemerkung: Polynomalgebra[Bearbeiten]
Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung ist es für einige Algebrenklassen notwendig, die Erweiterung auf die Algebra der Polynome
zu betrachten. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung
konstruiert wird.
Bemerkung: regulär - K-regulär[Bearbeiten]
Jedes reguläre Element
ist zugleich auch
-regulär, da reguläre Elemente bereits in der Algebra
selbst invertierbar sind,
in natürlicher Weise eine Algebraerweiterung von sich darstellt, in der das inverse Element
existiert. Daher gilt
.
Definition: Absolutcharakter[Bearbeiten]
Die
-Singularität besitzt Absolutcharakter, falls aus
-Singularität
-Singularität folgt.
Augaben für Lernende[Bearbeiten]
Die Aufgaben beziehen sich auf die topologieerzeugenden Gaugefunktionalsysteme und die Äquivalenz dieser Systeme. Diese Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme wird für die Einbettung der Algebraerweiterung von
in
benötigt, damit man die Stetigkeit der Einbettung
und der Umkehrabbildung
nachweisen kann.
Aufgabe 1: Bezug unter Unterschiede zum Satz von Hahn-Banach[Bearbeiten]
Betrachten Sie den Satz von Hahn-Banach und die Erweiterung von linearen Funktionalen
von einem Unterrraum
auf den gesamten Vektorraum
.
- Welche topologischen Gemeinsamkeiten und Unterschiede sehen Sie bei der Erweitung von linearen Funktionalen (Hahn-Banach) und der Algebraerweiterung?
- Wie kann man aus einem linearen Funktional
ein Halbnorm
auf
erzeugen und mit der Erweiterung von
auf
eine Halbnorm auf
?
Aufgabe 2: Konvergenz in äquivalenten Gaugefunktionalsystemen[Bearbeiten]
Sei
eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen
bzw.
definiert sind. Ferner sei ein Netz in gegeben.
- Notieren Sie dazu zunächst die Konvergenz bzgl. der topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen
und
formal.
- Zeigen Sie, dass in einer Algebra
ein Netz genau der dann in
konvergiert, wenn es auch bzgl.
konvergiert.
Aufgabe 3: Algebraerweiterungen von Matrixalgebren[Bearbeiten]
Sei
die nicht-kommunitive Algebra der 2x2-Matrizen über
mit der euklidischen Norm:

Aufgabe 3a: Polynomalgebraerweiterungen von Matrixalgebren[Bearbeiten]
Erzeugen Sie eine Polynomalgebra mit Koeffizienten in
und topologisieren Sie den Raum
ebenfalls mit einer Norm.
Definition 3b: Matrxixalgebraerweiterungen von Matrixalgebren[Bearbeiten]
Betten Sie
in den Raum
der 3x3-Matrizen über
ein.

Aufgabe 3c: Matrixalgebraerweiterungen von Matrixalgebren[Bearbeiten]
Ist über die mit
definierte Abbildung eine Algebraerweiterung definiert worden? Überprüfen Sie die Eigenschaften!
- Zeigen Sie, dass
bijektiv
nach
ist.
- Verwenden Sie den Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, um die Stetigkeit von
und
nachzuweisen.
- Können Sie ein Element in der ursprünglichen Algebra
der
-Matrizen angeben, das in
nicht invertierbar ist, aber bei dem Sie in ein inverses Element aus
nach der Einbettung angeben können? (Hinweis: Sind nicht-invertierbare Matrizen Nullteiler in
?)
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