Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler

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Einleitung[Bearbeiten]

Multiplikative topologische Nullteiler charakterisieren die -regulären (bzw. die -regulären Elemente) in kommuntativen multiplikativen topologischen Algebren mit einem submultiplikativen Halbnormensystem (bzw. submultiplikativen -Halbnormensystem).

MPC- bzw. MLC-Regularität[Bearbeiten]

Die Negation der Eigenschaft, ein multiplikativer topologischer Nullteiler zu sein, führt dazu, dass ein mit ein -reguläres Element in kommuntativen unitalen topologische Algebren ist. Dies gilt analog für die Algebrenklasse . Daher werden die multiplikativen topologischen Nullteiler in dieser Lerneinheit genauer untersucht.

Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]

In einer Nullumgebung kann man die skalar-unbeschränkten Teilmenge einer Nullumgebung identifizieren. Das sind die Elemente einer Nullumgebung , bei denen beliebige skalare Vielfache der Vektoren ebenfalls wieder in der Nullumgebung liegen (i.e. für alle ).

Definition: Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra mit als System von offenen Mengen und eine Nullumgebung. Die skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung wird dann wie folgt definiert:

Bemerkung: Nullvektor[Bearbeiten]

Für jede Nullumgebung gilt , denn der Nullvektor liegt in der skalar-unbeschränkten Teilmenge von beliebigen Nullumgebungen , denn für alle erhält man die Bedingung:


Aufgabe 1 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]

Sei die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von nach mit dem Halbnormensystem und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

Geben Sie zu dem lokalkonvexen topologischen Vektorraum zu der offenen Menge

die Elemente aus an.

Aufgabe 2 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]

Sei die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von nach mit dem Halbnormensystem und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

Geben Sie in zu der offenen Menge wieder alle Elemente aus an. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen Aufgabe 1 und 2 bzgl. der skalaren Unbeschränktheit?

Beispiele für skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]

Wir betrachten die reelle -Algebra von Potenzreihen mit reellen Koeffizienten und der Partialsummentopologie. Dabei sind mit beliebige Potenzreihen gemeint, die nicht notwendig konvergent bzw. absolut konvergent mit Koeffizienten in sind.

Aufgabe: Skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung[Bearbeiten]

Sei beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass alle Potenzreihen mit für alle zur skalar-unbeschränkten Teilmenge der Nullumgebungen gehören mit:

Cauchy-Produkt auf der Potenzreihenalgebra[Bearbeiten]

wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.

Aufgabe 3 - Cauchy-Produkt - submultiplikative Halbnormen[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass die Partialsummentopologie submultiplikative Halbnormen auf der Potenzreihenalgebra erzeugt.

Definition: Multiplikative topologische Nullteiler[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige multiplikative topologische Nullteiler. Dabei gilt für eine multiplikative Nullumgebung die Bedingung:

Für das entsprechende Gaugefunktionale gilt dann für alle .

Definition: Rechtsseitiger multiplikativer topologische Nullteiler[Bearbeiten]

Man nennt einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung gibt, so dass gilt für alle :

Definition: Linksseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler[Bearbeiten]

heißt linksseitger multiplikativer topologischer Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls ese eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung gibt, so dass für alle gilt:

Definition: multiplikativer topologischer Nullteiler[Bearbeiten]

ist ein multiplikativer topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ), falls ein rechtseitiger oder ein linkseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler ist.

Bemerkung: Multiplikative topologische Nullteiler[Bearbeiten]

Die Definition eines multiplikativen topologischen Nullteilers basiert auf dem Charakterisierungssatz von Zelazko für -reguläre Elemente (1971)[1], bei dem die Menge der multiplikativen topologischen Nullteiler genau die -singulären Elemente der Algebra darstellt.

Lemma: MTNT - Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Sei ein submultiplikatives -Gaugefunktionalsystem , dann gilt mit als Menge der Gaugefunktionalindizes, die submultiplikativ, sind folgende Äquivalenz:

In kommutativen Algebren gilt .

Beweis - MTNT - Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Beweis siehe MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale.

Lemma: Negation MTNT - Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Sei ein unital positives submultiplikatives -Halbnormensystem einer -Algebra, dann gilt:

Bemerkung: MPC-Regularität[Bearbeiten]

Bei der Charakterisierung der -Regularität sind die -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler und die -regulären Elemente die Elemente, die die folgenden Ungleichung für alle mit geeignet gewählten erfüllen für alle :

Lemma: Zusammenhang MTNT - TNT[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra mit einem unital-positiven Gaugefunktionalsystem , dann gilt .

Beweis - Zusammenhang MTNT - TNT[Bearbeiten]

Sei , dann gilt genau dann, wenn es ein gibt, so dass für alle gilt:

Wenn submultiplikativ ist, dann gilt die Aussage insbesondere für und man erhält die Behauptung.

Spezialfall für MTNT-Elemente[Bearbeiten]

Für multiplikative topologische Nullteiler muss das Infimum aber nur 0 sein für das spezielle . Für rechtsseitige (linksseitige) topologische Nullteiler muss das Infimum aber für alle gelten. Also folgt insbesondere:

Damit gilt auch .

Linksseitige und allgemeine TNT und MTNT[Bearbeiten]

Der Beweis für den Zusammenhang zwischen multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale verläuft für inksseitige und allgemeine TNT und MTNT analog.

Bemerkung: MTNT - über Nullumgebungen[Bearbeiten]

Sei und ein rechtseitiger topologischer Nullteiler, für den gilt nach Definition, dass es eine Nullumgebung gibt, so dass gilt:

Damit gilt u.a., dass es für jede Nullumgebgung gilt:

Skalar unbeschränkte Teilmengen[Bearbeiten]

Da der Nullvektor in jeder skalar unbeschränkten Teilmengen von beliebigen Nullumgebungen enthalten ist, gilt für alle die Bedingung:

Lemma: Zusammenhang MTNT und TNT[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen. Dann gelten folgende Teilmengenbeziehungen:

Aufgabe 4 - Teilmengenbeziehung zu MTNT[Bearbeiten]

Die folgenden Beweisaufgaben beziehen sich auf den Zusammenhang von multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteilern. Zeigen Sie die folgenden Aussagen über die Verwendung eines unital-positiven Gaugefunktionalsystems auf z.B. für .

Beweis Lemma Zusammenhang MTNT und TNT[Bearbeiten]

Beweisen Sie, dass in einer topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen die folgende Teilmengenbeziehungen gelten:

Banachalgebren - Lokalbeschränkte Algebren[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass in Banachalgebren bzw. lokalbeschränkten Algebren die Gleichheit gilt:

MLC- und MPC-Regularität[Bearbeiten]

Begründen Sie, dass die -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler sind, d.h. für ein gilt:

Lemma: Zusammenhang MTNT und TKP[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra. Dann gelten die Teilmengenbeziehung auf für Elemente mit topologisch kleinen Potenzen über folgende Teilmengenbeziehungen:

Bemerkung TNT - TKP[Bearbeiten]

Da topologische Nullteiler auch Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind, folgt die Übungsaufgabe obenin einer topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen auch unmittelbar aus der folgenden Teilmengenbeziehung:

Bezug zum Haupsatz über K-reguläre Elemente[Bearbeiten]

Über die Teilmengenbeziehung kann es Elemente in eine -Algebra geben, die zwar ein multiplikativer topologischer Nullteiler sind, aber dennoch topologisch große Potenzen besitzen. In einem solchen Fall kann ein -singuläres Element dennoch -regulär sein.


Quellennachweis[Bearbeiten]

  1. Zelazko, W., (1971), On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37, S. 181-190;

Siehe auch[Bearbeiten]

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