Multiplikative topologische Nullteiler charakterisieren die -regulären (bzw. die -regulären Elemente) in kommuntativen multiplikativen topologischen Algebren mit einem submultiplikativen Halbnormensystem (bzw. submultiplikativen -Halbnormensystem).
MPC- bzw. MLC-Regularität[Bearbeiten]
Die Negation der Eigenschaft, ein multiplikativer topologischer Nullteiler zu sein, führt dazu, dass ein mit ein -reguläres Element in kommuntativen unitalen topologische Algebren ist. Dies gilt analog für die Algebrenklasse . Daher werden die multiplikativen topologischen Nullteiler in dieser Lerneinheit genauer untersucht.
Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]
In einer Nullumgebung kann man die skalar-unbeschränkten Teilmenge einer Nullumgebung identifizieren.
Das sind die Elemente einer Nullumgebung , bei denen beliebige skalare Vielfache der Vektoren ebenfalls wieder in der Nullumgebung liegen (i.e. für alle ).
Definition: Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]
Sei eine topologische Algebra mit als System von offenen Mengen und eine Nullumgebung. Die skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung wird dann wie folgt definiert:
Bemerkung: Nullvektor[Bearbeiten]
Für jede Nullumgebung gilt , denn der Nullvektor liegt in der skalar-unbeschränkten Teilmenge von beliebigen Nullumgebungen , denn für alle erhält man die Bedingung:
Aufgabe 1 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]
Sei die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von nach mit dem Halbnormensystem und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):
Geben Sie zu dem lokalkonvexen topologischen Vektorraum zu der offenen Menge
die Elemente aus an.
Aufgabe 2 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]
Sei die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von nach mit dem Halbnormensystem und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):
Geben Sie in zu der offenen Menge wieder
alle Elemente aus an. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen Aufgabe 1 und 2 bzgl. der skalaren Unbeschränktheit?
Beispiele für skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen[Bearbeiten]
Wir betrachten die reelle -Algebra von Potenzreihen mit reellen Koeffizienten und der Partialsummentopologie. Dabei sind mit beliebige Potenzreihen gemeint, die nicht notwendig konvergent bzw. absolut konvergent mit Koeffizienten in sind.
Aufgabe: Skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung[Bearbeiten]
Sei beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass alle Potenzreihen mit für alle zur skalar-unbeschränkten Teilmenge der Nullumgebungen gehören mit:
Cauchy-Produkt auf der Potenzreihenalgebra[Bearbeiten]
wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.
Aufgabe 3 - Cauchy-Produkt - submultiplikative Halbnormen[Bearbeiten]
Zeigen Sie, dass die Partialsummentopologie submultiplikative Halbnormen auf der Potenzreihenalgebra erzeugt.
Definition: Multiplikative topologische Nullteiler[Bearbeiten]
Sei eine topologische Algebra. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige multiplikative topologische Nullteiler. Dabei gilt für eine multiplikative Nullumgebung die Bedingung:
Für das entsprechende Gaugefunktionale gilt dann für alle .
Definition: Rechtsseitiger multiplikativer topologische Nullteiler[Bearbeiten]
Man nennt einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung gibt, so dass gilt für alle :
Definition: Linksseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler[Bearbeiten]
heißt linksseitger multiplikativer topologischer Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls ese eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung gibt, so dass für alle gilt:
Definition: multiplikativer topologischer Nullteiler[Bearbeiten]
ist ein multiplikativer topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ), falls ein rechtseitiger oder ein linkseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler ist.
Bemerkung: Multiplikative topologische Nullteiler[Bearbeiten]
Die Definition eines multiplikativen topologischen Nullteilers basiert auf dem Charakterisierungssatz von Zelazko für -reguläre Elemente (1971)[1], bei dem die Menge der multiplikativen topologischen Nullteiler genau die -singulären Elemente der Algebra darstellt.
Lemma: MTNT - Gaugefunktionale[Bearbeiten]
Sei ein submultiplikatives -Gaugefunktionalsystem , dann gilt mit als Menge der Gaugefunktionalindizes, die submultiplikativ, sind folgende Äquivalenz:
In kommutativen Algebren gilt .
Beweis - MTNT - Gaugefunktionale[Bearbeiten]
Beweis siehe MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale.
Lemma: Negation MTNT - Gaugefunktionale[Bearbeiten]
Sei ein unital positives submultiplikatives -Halbnormensystem einer -Algebra, dann gilt:
Bemerkung: MPC-Regularität[Bearbeiten]
Bei der Charakterisierung der -Regularität sind die -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler und die -regulären Elemente die Elemente, die die folgenden Ungleichung für alle mit geeignet gewählten erfüllen für alle :
Lemma: Zusammenhang MTNT - TNT[Bearbeiten]
Sei eine topologische Algebra mit einem unital-positiven Gaugefunktionalsystem , dann gilt .
Beweis - Zusammenhang MTNT - TNT[Bearbeiten]
Sei , dann gilt genau dann, wenn es ein gibt, so dass für alle gilt:
Wenn submultiplikativ ist, dann gilt die Aussage insbesondere für und man erhält die Behauptung.
Spezialfall für MTNT-Elemente[Bearbeiten]
Für multiplikative topologische Nullteiler muss das Infimum aber nur 0 sein für das spezielle . Für rechtsseitige (linksseitige) topologische Nullteiler muss das Infimum aber für alle gelten. Also folgt insbesondere:
Damit gilt auch .
Linksseitige und allgemeine TNT und MTNT[Bearbeiten]
Der Beweis für den Zusammenhang zwischen multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale verläuft für inksseitige und allgemeine TNT und MTNT analog.
Bemerkung: MTNT - über Nullumgebungen[Bearbeiten]
Sei und ein rechtseitiger topologischer Nullteiler, für den gilt nach Definition, dass es eine Nullumgebung gibt, so dass gilt:
Damit gilt u.a., dass es für jede Nullumgebgung gilt:
Skalar unbeschränkte Teilmengen[Bearbeiten]
Da der Nullvektor in jeder skalar unbeschränkten Teilmengen von beliebigen Nullumgebungen enthalten ist, gilt für alle die Bedingung:
Lemma: Zusammenhang MTNT und TNT[Bearbeiten]
Sei eine topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen. Dann gelten folgende Teilmengenbeziehungen:
Aufgabe 4 - Teilmengenbeziehung zu MTNT[Bearbeiten]
Die folgenden Beweisaufgaben beziehen sich auf den Zusammenhang von multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteilern. Zeigen Sie die folgenden Aussagen über die Verwendung eines unital-positiven Gaugefunktionalsystems auf z.B. für .
Beweis Lemma Zusammenhang MTNT und TNT[Bearbeiten]
Beweisen Sie, dass in einer topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen die folgende Teilmengenbeziehungen gelten:
Banachalgebren - Lokalbeschränkte Algebren[Bearbeiten]
Zeigen Sie, dass in Banachalgebren bzw. lokalbeschränkten Algebren die Gleichheit gilt:
MLC- und MPC-Regularität[Bearbeiten]
Begründen Sie, dass die -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler sind, d.h. für ein gilt:
Lemma: Zusammenhang MTNT und TKP[Bearbeiten]
Sei eine topologische Algebra. Dann gelten die Teilmengenbeziehung auf für Elemente mit topologisch kleinen Potenzen über folgende Teilmengenbeziehungen:
Bemerkung TNT - TKP[Bearbeiten]
Da topologische Nullteiler auch Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind, folgt die Übungsaufgabe obenin einer topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen auch unmittelbar aus der folgenden Teilmengenbeziehung:
Bezug zum Haupsatz über K-reguläre Elemente[Bearbeiten]
Über die Teilmengenbeziehung kann es Elemente in eine -Algebra geben, die zwar ein multiplikativer topologischer Nullteiler sind, aber dennoch topologisch große Potenzen besitzen. In einem solchen Fall kann ein -singuläres Element dennoch -regulär sein.
- ↑ Zelazko, W., (1971), On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37, S. 181-190;
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