Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Einführung

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ wird ein multiplikativer topologischer Nullteiler mengentheoretisch über das System der offenen Mengen ${\mathcal {T}}_{A}$ definiert. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, musste man diese topologischen Eigenschaften für rechtseitige, linkseitig und beidseitige multiplikative topologischen Nullteiler über das System von offenen Mengen ${\textstyle {\mathcal {T}}_{A}}$ beschreiben.

Topologische Eigenschaften über Gaugefunktional

Ein Kriterium, dass die Eigenschaften $z\in {\mathcal {MTNT}}(A)$ bzw. $z\notin {\mathcal {MTNT}}(A)$ über Gaugefunktionale, Halbnormen, Quasinormen, $p$-Normen, ... definert ist das Ziel eines Kriteriums zur Charakterisierung der Eigenschaft eines multiplikativen topologischen Nullteilers über Gaugefunktionale. In normierten Räumen wurde nach dem klassischen Satz von Arens für die Banachalgebren die Eigenschaft ein topologischer Nullteiler sein über eine Norm definiert.

Lemma - MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein $p$-Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$, dann gilt mit ${\mathcal {M}}({\mathcal {A}})$ als Menge der Gaugefunktionalindizes, die submultiplikativ, sind folgende Äquivalenz:

• $z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A):\Longleftrightarrow \displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {M}}({\mathcal {A}})}:\,\inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\|z\cdot x\|_{\alpha }=0$
• $z\in {\mathcal {MTNT}}_{l}(A):\Longleftrightarrow \displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {M}}({\mathcal {A}})\,\,}:\,\inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\|x\cdot z\|_{\alpha }=0$

In kommutativen Algebren gilt ${\mathcal {MTNT}}_{r}(A)={\mathcal {MTNT}}_{l}(A)={\mathcal {MTNT}}(A)$.

Beweis - MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Man nennt ${\textstyle z\in A}$ einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}$), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung ${\textstyle U_{\alpha }\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, so dass gilt für alle $\lambda >0$:

$$\lambda \cdot U_{\alpha }\cap z\cdot (A\setminus U_{\alpha })\not =\emptyset$$

Minkowski-Funktional von Nullumgebungen

Betrachtet man das Minkowski-Funktional von kreisförmigen multiplikativen Nullumgebungen, so liefert

• die Kreisförmigkeit die Homogenität des Minkowski-Funktionals $p_{_{U_{\alpha }}}$ und damit ein Gaugefunktional $U_{\alpha }:=B_{1}^{\alpha }(0_{A}):=\{x\in A\,\colon \,\|x\|_{\alpha }<1\}$,
• die Multplikativität der Nullumgebung $U_{\alpha }$ (also $U_{\alpha }\cdot U_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }$) liefert die Submultiplikativität des Gaugefunktionals, d.h.

$\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\alpha }\cdot \|y\|_{\alpha }$

Bildung des Infimum

Betrachtet man die Bedingung

$$\lambda \cdot U_{\alpha }\cap z\cdot (A\setminus U_{\alpha })\not =\emptyset$$

so erhält man übertragen auf das Gaugefunktional für alle $\lambda >0$ ein $x_{\lambda }\in A\setminus U_{\alpha }$ für das $z\cdot x_{\lambda }\in \lambda \cdot U_{\alpha }$ und damit gilt

$$\|z\cdot x_{\lambda }\|_{\alpha }\leq \lambda \,\,\,\wedge \,\,\,\|x_{\lambda }\|_{\alpha }\geq 1$$

und man erhält $\inf _{\|x_{\lambda }\|_{\alpha }\geq 1}\|z\cdot x_{\lambda }\|_{\alpha }=0$.

Umgekehrte Beweisrichtung 1

Sei nun die folgende Infimumsbedingung gegeben.

$\displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}\,{\mbox{ submultiplikativ }}\,\,}:\,\inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\|z\cdot x\|_{\alpha }=0$

Wähle $U_{o}:=B_{1}^{\alpha }(0_{A})$ und für alle $n\in \mathbb {N}$ gibt es ein $x_{n}\in A\setminus U_{o}$ mit $\|x_{n}\|_{\alpha }=1$ mit $\|z\cdot x_{n}\|_{\alpha }<{\frac {1}{n}}$. Dann gilt es auch für alle $\lambda >0$ ein $n\in \mathbb {N}$ mit $n>{\frac {1}{\lambda }}$ mit $z\cdot x_{n}\in \lambda \cdot U_{o}$ (mit Kreisförmigkeit von $U_{o}$)

Umgekehrte Beweisrichtung 2

Insgesamt gilt dann:

$$\lambda \cdot U_{\alpha }\cap z\cdot (A\setminus U_{\alpha })\not =\emptyset$$

und man erhält die Behauptung. $\Box$

Lemma - skalare beschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {{\mathcal {K}}_{e}}}$. Wenn ${\textstyle z\in A}$ und ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ eine kreisförmige multiplikative Nullumgebung ist, dann gilt:

$$\Lambda (U_{0})\subset {\overline {z\cdot (A\setminus U_{0})}}\,\Longrightarrow \,z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\,\,\,\,(\ast )$$

bzw.

$$\Lambda (U_{0})\subset {\overline {(A\setminus U_{0})\cdot z}}\,\Longrightarrow \,z\in {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)$$

Beweis - MTNT-Lemma - skalare Beschränktheit

Sei ${\textstyle z\in A}$ und eine kreisförmige multiplikative Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ mit $U_{0}\cdot U_{0}\subset U_{0}$, für die gilt:

$\Lambda (U_{0})\subset {\overline {z\cdot (A\setminus U_{\alpha })}}$.

Dann gilt für alle $\lambda >0$ die Inklusion

$\lambda \cdot U_{0}\cap z\cdot (A\setminus U_{\alpha })\not =\emptyset$.

Damit gilt $z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)$. Den Beweis führt den linkseitigen multiplikativen Nullteiler führt man analog. $\Box$

Da das System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die Topologie auf ${\textstyle A}$ erzeugt, gibt es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ein ${\textstyle \varepsilon >0}$, so dass die multiplikative ${\textstyle \varepsilon }$-Kugel ${\textstyle U_{\alpha }:={\rm {B}}_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{A})}$ des ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionals ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ eine Teilmenge von ${\textstyle U_{0}}$ ist. $\Box$

Gaugefunktional, MTNT und skalar unbeschränkte Mengen

Die folgende Abschätzung ergeben sich bei der Auseinandersetzung mit skalar unbeschränkten Mengen einer Nullumgebung in pseudokonvexen Räumen ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {{\mathcal {PC}}_{e}}}$.

Gaugefunktional und skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Für ein $u\in \Lambda (U_{0})$ mit $\|\cdot \|_{\alpha }$ als submultiplikatives Gaugefunktional und $U_{\alpha }:=B_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{A})$ gilt für alle $\lambda \in \mathbb {K}$:

$\lambda \cdot u\in U_{\alpha }:=B_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{A})=\{x\in A\,\colon \,\|x\|_{\alpha }<\varepsilon \}$

Damit erhält man $\|u\|_{\alpha }=0$, denn sonst gilt nicht für alle $\lambda \in \mathbb {K}$, dass

$|\lambda |\cdot \underbrace {\|u\|_{\alpha }} _{=0}=\|\lambda \cdot u\|_{\alpha }<\varepsilon$

Skalar unbeschränkte Teilmengen

Wenn man ein Element aus $u_{o}\in \Lambda (U_{0})$ wählt, gilt auch für das Minkowski-Funktional von $U_{0}$, dass $p_{U_{0}}(u_{o})=0$ ist. Für Teilmengenbeziehung zwischen Nullumgebungen gilt ferner:

$U_{0}\subseteq U_{1}\Longrightarrow \forall _{x\in A}:\,\,p_{_{U_{1}}}(x)\geq p_{_{U_{0}}}(x)$

Damit gilt auch mit

$p_{_{U_{0}}}(x)=0\Longrightarrow p_{_{U_{1}}}(x)=0$

und für die skalar unbeschränkten Teilmengen von Nullumgebungen

$\Lambda (U_{0})\subseteq \Lambda (U_{1})$.

Konvergenz bzgl. Komplementen von Nullumgebungen

Sei $\Lambda (U_{0})\subset {\overline {z\cdot (A\setminus U_{0})}}$ und zunächst $u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })$ beliebig gewählt. Da ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}$ ein rechtseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ ist, gibt es ein Netz $(x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}\in (A\setminus U_{0})^{{\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$, wobei $(z\cdot x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}$ gegen $u_{o}$ konvergiert, d.h.

$${\begin{array}{rcl}(x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}&\in &(A\setminus U_{0})^{{\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}{\mbox{ mit }}\\z\cdot x_{_{U}}-u_{o}&\in &U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A}).\end{array}}$$

Netz aus dem Komplement einer Nullumgebung

Da das Netz $(x_{_{U}})_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ im Komplement von $U_{0}$ liegt es auch im Komplement von $U_{\alpha }\subseteq U_{0}$. Wenn alle Komponenten des Netzes $x_{_{U}}\in A\setminus U_{\alpha }$ auch im Komplement von $U_{\alpha }$ gilt immer noch, dass $(z\cdot x_{_{U}})_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ gegen $u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })$ konvergiert mit $\|x_{_{U}}\|_{\alpha }\geq \varepsilon$

$z\cdot x_{_{U}}-u_{o}\in U$

Konvergenz und skalare Unbeschränktheit

Die Konvergenz gegen $u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })$ mit ${\textstyle z\cdot x_{_{U}}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}u_{o}}$ lässt sich auch über Gaugefunktionale ausdrücken. Damit gilt für alle $\beta \in {\mathcal {A}}$, dass die Quasihalbnormen die Bedingung erfüllen:

$\|z\cdot x_{_{U}}-u_{o}\|_{\beta }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0$

Man erhält damit $\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq \varepsilon }\left\|z\cdot x-u_{o}\right\|_{\beta }=0$ für alle $\beta \in {\mathcal {A}}$.

Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition

Wendet man die obige Konvergenzaussage insbesondere für $\beta =\alpha$. Ferner folgt aus der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante $K_{\alpha }\geq 1$ auch die Ungleichung:

${\frac {1}{K_{\alpha }}}\cdot \|x\|_{\alpha }-\|y\|_{\alpha }\leq \|x-y\|_{\alpha }.$

Mit einer Abschätzung nach unter der Konvergenzaussage für $\beta =\alpha$ erhält man mit $u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })$:

$0\leq {\frac {1}{K_{\alpha }}}\cdot \|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }-\underbrace {\|u_{o}\|_{\alpha }} _{=0}\leq \|z\cdot x_{_{U}}-u_{o}\|_{\alpha }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0$

Konvergenz gegen 0 bzgl. Quasihalbnorm

Damit erhält man mit $\|x_{_{U}}\|_{\alpha }\geq \varepsilon$ auch:

${\begin{array}{rcl}{\frac {1}{K_{\alpha }}}\cdot \|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }&{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}&0\,\,\,{\mbox{ und }}\\\|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }&{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}&0\\\end{array}}$

Dies liefert für das Infimum die Bedingung $\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq \varepsilon }\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0$.

Mengenbeziehungen

Dann gilt:

${\begin{array}{rcl}U_{\alpha }\subset U_{0}&\Longrightarrow &A\setminus U_{0}\subset A\setminus U_{\alpha }\\&\Longrightarrow &\Lambda (U_{\alpha })\subset {\overline {z\cdot (A\setminus U_{\alpha })}}\\&\Longrightarrow &\displaystyle 0=\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq \varepsilon }\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot \varepsilon \cdot x\right\|_{\alpha }\\&\Longrightarrow &\displaystyle \varepsilon \cdot \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0\Longrightarrow \displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0\\&\Longrightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0\\\end{array}}$

Absorbierende Nullumgebung

Sei $u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })$ und dann gilt $\|u_{o}\|_{\alpha }=0$. Da Nullumgebungen absorbierend sind, gibt es für $z\in A$ ein natürliche Zahl $n_{o}\in \mathbb {N}$, sodass für alle $n\geq n_{o}$ auch $z\in n\cdot U_{\alpha }$ und damit auch ${\frac {1}{n}}\cdot z\in U_{\alpha }$. Ferner gilt auch mit

$\left\|n\cdot x\right\|_{\alpha }\geq n\geq n_{o}\geq 1$

Damit gilt insbesondere für $x\notin U_{\alpha }$ auch $n\cdot x\in A\setminus U_{\alpha }$.

Pseudokonvexe Algebren - skalar unbeschränkte Elemente

Wenn $u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })$ beliebig gewählt wird, gibt es ein Netz $(y_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}\in A^{{\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ gegeben, dass gegen $u_{o}$ konvergiert, d.h. für alle $\beta \in {\mathcal {A}}$ gilt

$\|y_{_{U}}-u_{o}\|_{\beta }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0$

Insbesondere gibt es für $\beta =\alpha$ eine Indexschranke des Netzes $U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ mit $K_{\alpha }\geq 1$ Stetigkeitskonstante der Addition:

$\|y_{_{U}}-u_{o}\|_{\alpha }<{\frac {\varepsilon }{2\cdot K_{\alpha }}}{\mbox{ für }}U\subseteq U_{\varepsilon }$

Anwendung der Infimumaussage auf Netze

Mit $\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0$ gibt es ein $(x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}\in (A\setminus U_{0})^{{\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$, wobei $(z\cdot x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}$ in der Quashalbnorm $\|\cdot \|_{\alpha }$ gegen $0$ konvergiert, d.h.

$\|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0$

Dabei sei ohne Einschränkung $\|x_{_{U}}\|_{\alpha }=1$ für alle $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$.

Definition eines Netzes im Komplement der Nullumgebung 1

Mit den obigen Bedingung definiert man mit der partiellen Ordnung (Mengeninklusion) auf der Indexmenge $J:={\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ eine neue Indexmenge $J_{o}\subseteq J$ mit

$J_{o}:=\{U\in J\,\colon \,U\cup U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})\}$

Der Schnitt von Nullumgebung ist nach den Eigenschaften eines topologischen Raum wieder eine Nullumgebung. Für das Teilnetz gilt ebenfalls:

$\|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in J_{0}}}}0\,\,\,{\mbox{ und }}\,\,\,\|y_{_{U}}-u_{o}\|_{\alpha }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in J_{0}}}}0$

Definition eines Netzes im Komplement der Nullumgebung 2

Man definiert nun ein Summen Netz $({\widehat {x_{_{U}}}})_{_{U\in J_{0}}}$ mit ${\widehat {x_{_{U}}}}=x_{_{U}}-y_{_{U}}$. Für die Komponenten des Netzes gilt.

$$\|x_{_{U}}-y_{_{U}}\|_{\alpha }\geq {\frac {1}{K_{\alpha }}}\cdot \underbrace {\|x_{_{U}}\|_{\alpha }} _{\geq 1}-\underbrace {\|y_{_{U}}\|_{\alpha }} _{\leq {\frac {\varepsilon }{2\cdot K_{\alpha }}}}\geq {\frac {\varepsilon }{2\cdot K_{\alpha }}}$$

Definiert man die Nullumgebung $U_{1}:=B_{\frac {\varepsilon }{2\cdot K_{\alpha }}}^{\alpha }(0_{A})$ liegt das Netz im Komplement von $U_{1}$.

Abschätzung des Produktes mit z

Da die Quasihalbnorm $\|\cdot \|_{\alpha }$ submultiplikativ ist.

${\begin{array}{rcl}\|z\cdot {\widehat {x_{_{U}}}}\|_{\alpha }&=&\|z\cdot (x_{_{U}}-y_{_{U}})\|_{\alpha }\\&\leq &K_{\alpha }\cdot \left(\|z\cdot (x_{_{U}}+u_{o})\|_{\alpha }+\|z\cdot (y_{_{U}}-u_{o})\|_{\alpha }\right)\\&\leq &K_{\alpha }^{2}\cdot \left(\|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }+\|z\|_{\alpha }\cdot \underbrace {\|u_{o}\|_{\alpha }} _{=0}+\|z\|_{\alpha }\cdot \underbrace {\|y_{_{U}}-u_{o}\|_{\alpha }} _{\to 0}\right){_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in J_{0}}}}0\end{array}}$

Stetigkeit der Multiplikation

Aus der Stetigkeit der Multiplikation und ${\textstyle w_{_{U}}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}u_{o}}$ folgt auch

${\textstyle w_{_{U}}\cdot z^{-1}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0}$ und man erhält:

$$\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}\exists _{\displaystyle U(V)\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}:w_{_{U(V)}}\cdot z^{-1}\in V.$$

Widerspruch

Dadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt:

$$V\not \ni y_{_{U(V)}}=y_{_{U(V)}}\cdot (z\cdot z^{-1})=(y_{_{U(V)}}\cdot z)\cdot z^{-1}\in V.$$

Der Widerspruch zeigt, dass ${\textstyle z}$ in ${\textstyle A}$ nicht invertierbar sein kann.$\Box$

Negation des MTNT-Kriteriums

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann kann man ${\textstyle z\notin {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}$ (bzw. ${\textstyle z\notin {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)}$) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}\,\,{\mbox{ submultiplikativ}}\,\,}\exists _{\varepsilon _{\alpha }>0}:\,\,\,\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha }>0$

bzw.

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}{\mbox{ submultiplikativ }}\,\,}\exists _{\varepsilon _{\alpha }>0}:\,\,\,\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|x\cdot z\right\|_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha }>0$

Lemma: Negation des MTNT-Kriteriums

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann kann man ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ (bzw. ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}\,\,{\mbox{ submultiplikativ}}\,\,}\exists _{D_{\alpha }>0}:\,\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }\,{\mbox{ mit }}\,z\notin {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\,$

bzw.

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,D_{\alpha }>0}:\,\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \left\|x\cdot z\right\|_{\alpha }\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)$

Beweisaufgabe für Studierende

• Beweisen Sie das Lemma zur Negation des ${\mathcal {MTNT}}$-Kriteriums für Gaugefunktionale über Verwendung des Topologisierungslemmas für Algebren und der Stetigkeit der Multiplikation.
• Wie verändert sich die Beweisführung, wenn die Topologie über $p$-Gaugefunktionale submultiplikative $p$-Halbnormen) und nicht über Quasihalbnormen erzeugt werden.
• Vergleichen Sie den Begriff des topologischen Nullteilers mit der Definition eines multiplikativen topologischen Nullteilers. Ist jeder topologische Nullteiler immer ein multiplikativer topologischer Nullteiler oder umgekehrt? Unter welchen Voraussetzung gilt die Inklusion? Begründen Sie Ihre Antwort!

Siehe auch

• Multiplikative topologische Nullteiler
• Topologische Nullteiler
• Gaugefunktional
• Topologisierungslemma für Algebren
• B-Regularität
• P-Regularität
• MLC-Regularität
• MPC-Regularität
• TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

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