Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 7

Aufgaben zu Gruppen

Aufgabe

Man gebe die Gruppenaxiome in quantorenlogischer Gestalt an.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass

${}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$

für alle ${}x\in G$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}x,y\in G$. Drücke das Inverse von ${}xy$ durch die Inversen von ${}x$ und ${}y$ aus.

Aufgabe

Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}S$ eine Menge und

${}G={\left\{F:S\rightarrow S\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}G$ mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {N}$ die Menge der natürlichen Zahlen und ${}\mathbb {N} _{+}$ die Menge der positiven natürlichen Zahlen. Wir betrachten die zweielementige Menge

$V=\{+,-\}$

und die Menge

$Z=(V\times \mathbb {N} _{+})\cup \{0\}.$

Wir wollen ${}Z$ zu einem Modell für die ganzen Zahlen machen. Als abkürzende Schreibweise verwenden wir ${}n$ für das Paar ${}(+,n)$ und ${}-n$ für das Paar ${}(-,n)$. Man definiere eine Verknüpfung

${}\oplus$ auf ${}Z$, die für ${}n,m\in \mathbb {N} _{+}$ die Eigenschaft

$n\oplus m=n+m$

erfüllt und die ${}Z$ zu einer

kommutativen Gruppe mit neutralem Element ${}0$ macht.

(Man darf zu ${}a,b\in \mathbb {N}$ mit ${}a\geq b$ die Differenz ${}a-b\in \mathbb {N}$ verwenden, also das eindeutig bestimmte Element, das zu ${}b$ addiert ${}a$ ergibt.)

Aufgaben zu Körper

Aufgabe

Man gebe die Körperaxiome in quantorenlogischer Gestalt an.

Aufgabe

Wir betrachten die Menge

${}K=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ={\left\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\,$

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

$0=(0,0){\text{ und }}1=(1,0),$

der Addition

${}(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)\,$

und der Multiplikation

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,.$

Zeige, dass ${}K$ mit diesen Operationen ein Körper ist.

Aufgabe

Es seien ${}x,y,z,w$ Elemente in einem Körper, wobei ${}z$ und ${}w$ nicht ${}0$ seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. ${}{\frac {x}{1}}=x\,,$

2. ${}{\frac {1}{z}}=z^{-1}\,,$

3. ${}{\frac {1}{-1}}=-1\,,$

4. ${}{\frac {0}{z}}=0\,,$

5. ${}{\frac {z}{z}}=1\,,$

6. ${}{\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,$

7. ${}{\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,$

8. ${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation (und die Subtraktion mit der Division) vertauscht, also

${}(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,$

nicht gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge ${}\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ${}0=1$ ist.

Aufgabe

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.

Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

${}a+(bc)=(a+b)\cdot (a+c)\,,$

nicht gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}2=1+1\neq 0$. Zeige, dass die Verknüpfung, die zwei Elementen ${}a$ und ${}b$ ihr arithmetisches Mittel ${}{\frac {a+b}{2}}$ zuordnet, nicht assoziativ ist.

Aufgabe

Wie viele „Rechenschritte“ (einschließlich „Gleichheitstests“) muss man durchführen, um die in Beispiel 7.2 beschriebene Struktur auf ${}\{0,1\}$ formal als einen Körper nachzuweisen? Kann man durch eine geschickte Reihenfolge die Anzahl der Schritte reduzieren?

Die folgende Aufgabe ist eher ein kleines Projekt als eine Aufgabe.

Aufgabe

In dieser Aufgabe nehmen wir an, dass die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit ihren wesentlichen algebraischen Eigenschaften bekannt sind. Wir wollen die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ausgehend von ${}\mathbb {Z}$ konstruieren und nachweisen, dass es sich um einen Körper handelt. Dazu definieren wir auf der Produktmenge

$\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})={\left\{(z,n)\mid z\in \mathbb {Z} {\text{ und }}n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\right\}}$

zunächst eine Äquivalenzrelation durch

$(z,n)\sim (z',n'){\text{ genau dann, wenn }}n'z=nz'.$

1. Zeige, dass dies wirklich eine Äquivalenzrelation ist. Es sei ${}Q$ die Menge der Äquivalenzklassen.
2. Definiere auf ${}Q$ eine Addition. Man achte insbesondere auf die Wohldefiniertheit.
3. Zeige, dass ${}Q$ mit der Addition eine kommutative Gruppe ist.
4. Definiere auf ${}Q$ eine Multiplikation.
5. Zeige, dass ${}Q\setminus \{0\}$ mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Gruppe ist.
6. Zeige, dass ${}Q$ mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist.
7. Wie findet man die ganzen Zahlen in ${}Q$ wieder?
8. Stimmen Addition und Multiplikation innerhalb von ${}\mathbb {Z}$ mit Addition und Multiplikation innerhalb von ${}Q$ überein?
9. Definiere eine Ordnung auf ${}Q$ derart, dass ${}Q$ zu einem archimedisch angeordneten Körper wird.

Fußnoten