Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 7

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Aufgaben zu Gruppen

Aufgabe

Man gebe die Gruppenaxiome in quantorenlogischer Gestalt an.


Aufgabe *

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und . Drücke das Inverse von durch die Inversen von und aus.


Aufgabe

Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.


Aufgabe

Es sei eine Menge und

Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.


Aufgabe

Es sei die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der positiven natürlichen Zahlen. Wir betrachten die zweielementige Menge

und die Menge

Wir wollen zu einem Modell für die ganzen Zahlen machen. Als abkürzende Schreibweise verwenden wir für das Paar und für das Paar . Man definiere eine Verknüpfung

auf , die für die Eigenschaft
erfüllt und die zu einer

kommutativen Gruppe mit neutralem Element macht.

(Man darf zu mit die Differenz verwenden, also das eindeutig bestimmte Element, das zu addiert ergibt.)



Aufgaben zu Körper

Aufgabe

Man gebe die Körperaxiome in quantorenlogischer Gestalt an.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

der Addition

und der Multiplikation

Zeige, dass mit diesen Operationen ein Körper ist.


Aufgabe

Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht null seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ist.


Aufgabe

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

nicht gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?


Aufgabe

Es sei ein Körper mit . Zeige, dass die Verknüpfung, die zwei Elementen und ihr arithmetisches Mittel zuordnet, nicht assoziativ ist.


Aufgabe

Wie viele „Rechenschritte“ (einschließlich „Gleichheitstests“) muss man durchführen, um die in Beispiel 7.2 beschriebene Struktur auf formal als einen Körper nachzuweisen? Kann man durch eine geschickte Reihenfolge die Anzahl der Schritte reduzieren?


Die folgende Aufgabe ist eher ein kleines Projekt als eine Aufgabe.

Aufgabe

In dieser Aufgabe nehmen wir an, dass die ganzen Zahlen mit ihren wesentlichen algebraischen Eigenschaften bekannt sind. Wir wollen die rationalen Zahlen ausgehend von konstruieren[1] und nachweisen, dass es sich um einen Körper handelt. Dazu definieren wir auf der Produktmenge

zunächst eine Äquivalenzrelation durch[2]

  1. Zeige, dass dies wirklich eine Äquivalenzrelation ist. Es sei die Menge der Äquivalenzklassen.
  2. Definiere auf eine Addition. Man achte insbesondere auf die Wohldefiniertheit.[3]
  3. Zeige, dass mit der Addition eine kommutative Gruppe ist.
  4. Definiere auf eine Multiplikation.
  5. Zeige, dass mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Gruppe ist.
  6. Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist.
  7. Wie findet man die ganzen Zahlen in wieder?
  8. Stimmen Addition und Multiplikation innerhalb von mit Addition und Multiplikation innerhalb von überein?
  9. Definiere eine Ordnung auf derart, dass zu einem archimedisch angeordneten Körper[4] wird.


Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Insbesondere wird kein Bezug auf reelle Zahlen genommen.
  2. Die folgende Bezeichnung soll an Zähler und Nenner erinnern. Diese Vorstellung hilft auch bei der Aufgabe, sie darf aber nich als Beweismittel eingesetzt werden.
  3. Das Problem der Wohldefiniertheit bei einer Abbildung, die auf einer Menge von Äquivalenzklassen definiert werden soll, besteht darin, dass man die Abbildung unter Bezug auf einen Repräsentanten der Klasse definiert. Dann stellt sich die Frage, ob die Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist.
  4. Dieser Begriff wird erst in der nächsten Vorlesung eingeführt, eine Ordnung kann man aber schon jetzt definieren.