Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 3/latex
\setcounter{section}{3}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Euklid-von-Alexandria_1.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Euklid (4. Jahrhundert v. C.)} }
\bildlizenz { Euklid-von-Alexandria 1.jpg } {} {Luestling} {Commons} {PD} {http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html}
\zwischenueberschrift{Der euklidische Algorithmus}
Euklidische Bereiche heißen so, weil in ihnen der euklidische Algorithmus ausgeführt werden kann.
\inputdefinition
{{{{2}}}}
{
Es seien Elemente
\mathl{a,b}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{b \neq 0}{}} {} {}
eines
\definitionsverweis {euklidischen Bereichs}{}{}
$R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen
\mathl{r_0= a}{} und
\mathl{r_1= b}{} und die mittels der Division mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{i}
}
{ =} {q_i r_{i+1} + r_{i+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die \definitionswort {Folge der euklidischen Reste}{\zusatzfussnote {Da wir einen euklidischen Bereich ohne Eindeutigkeitsbedingung in der Division mit Rest definiert haben, ist diese Restfolge nicht unbedingt eindeutig bestimmt. Die relevanten Eigenschaften hängen aber nicht von Auswahlen ab und in allen wichtigen Beispielen ist die Division mit Rest eindeutig} {.} {.}}
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Algorithmus (Bereiche)/ggT/Invarianz/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es seien zwei Elemente
\mathl{r_0= a, r_1= b \neq 0}{} eines
\definitionsverweis {euklidischen Bereiches}{}{}
$R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann besitzt die Folge $r_i$,
\mathl{i=0,1,2, \ldots}{,} der
\definitionsverweis {euklidischen Reste}{}{}
folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathl{r_{i+2} =0 \text{ oder } \delta(r_{i+2}) < \delta(r_{i+1})}{.}
}{Es gibt ein
\zusatzklammer {minimales} {} {}
\mathl{k \geq 2}{} mit
\mathl{r_k= 0}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} (r_{i+1},r_{i})
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{i},r_{i-1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mathl{k \geq 2}{} der erste Index derart, dass
\mathl{r_k= 0}{} ist. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} (a,b)
}
{ =} {r_{k-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungvier{Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
}{Solange
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen
\mathl{\delta(r_i)}{} immer kleiner, sodass irgendwann der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eintreten muss.
}{Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von
\mathl{r_{i+1}}{} und von $r_{i+2}$ ist, so zeigt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{i}
}
{ =} {q_i r_{i+1} + r_{i+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass $t$ auch ein Teiler von $r_i$ und damit ein gemeinsamer Teiler von
\mathl{r_{i+1}}{} und von $r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.
}{Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} (a,b)
}
{ =} { \operatorname{ggT} (b,r_2)
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_2,r_3)
}
{ =} { \ldots
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{k-2},r_{k-1} )
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{k-1},r_{k} )
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{k-1},0)
}
{ =} { r_{k-1}
}
{ } {}
}{}{.}
}
Als Beispiel zum Euklidischen Algorithmus lösen wir die folgende Aufgabe.
\inputaufgabeloesungvar{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.
} {
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1071
}
{ =} {1 \cdot 1029 + 42
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1029
}
{ =} {24 \cdot 42 + 21
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{42
}
{ =} {2 \cdot 21 + 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.
}
\inputaufgabeloesungvar{
Bestimme in
\mathl{{\Z}[{ \mathrm i}]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{7+4{ \mathrm i}}{} und
\mathl{5+3{ \mathrm i}}{.}
} {
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 7+4 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{5+3 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und führen die Division mit Rest
\mathl{a/b}{} durch. Es ist
\zusatzklammer {in ${\mathbb C}$ oder in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{a}{b}
}
{ =} {\frac{7+4 { \mathrm i} }{5+3 { \mathrm i} }
}
{ =} {\frac{(7+4 { \mathrm i} )(5-3 { \mathrm i} )}{(5+3{\mathrm i})(5-3 { \mathrm i} )}
}
{ =} {\frac{47- { \mathrm i} }{34}
}
{ =} {\frac{47}{34} - \frac{1}{34} { \mathrm i}
}
}
{}{}{.}
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $1$, sodass die Division mit Rest ergibt:
\mathdisp {a=1 \cdot b+r \text{ mit } r= a-b= 2+ { \mathrm i}} { . }
Die nächste durchzuführende Division ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{b}{r}
}
{ =} { \frac{5+3 { \mathrm i} }{2+{ \mathrm i} }
}
{ =} { \frac{(5+3 { \mathrm i} )(2-{ \mathrm i})}{(2+ { \mathrm i} )(2- { \mathrm i} )}
}
{ =} { \frac{13+{ \mathrm i} }{5}
}
{ =} { \frac{13}{5} + \frac{1}{5} { \mathrm i}
}
}
{}{}{.}
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $3$, sodass die Division mit Rest ergibt:
\mathdisp {b=3 \cdot r +s \text{ mit } s= b-3r =5+3 { \mathrm i} -3(2+ { \mathrm i} )= -1} { . }
Da dies eine Einheit ist, sind
\mathkor {} {a = 7+4{ \mathrm i}} {und} {b = 5+3{ \mathrm i}} {}
teilerfremd.
}
\zwischenueberschrift{Das Lemma von Bezout und das Lemma von Euklid}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealring}{}{.} Dann gilt:
Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} darstellen, d.h. es gibt Elemente
\mathl{r_1 , \ldots , r_n \in R}{} mit
\mathl{r_1a_1+r_2a_2 + \cdots + r_na_n=d}{.}
Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Darstellung der $1$.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit
\mathl{I=( d)}{.} Wir behaupten, dass $d$ ein größter gemeinsamer Teiler der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} ist. Die Inklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a_i)
}
{ \subseteq }{ I
}
{ = }{ (d)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{.} Dann ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (d)
}
{ = }{I
}
{ \subseteq }{(e)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wiederum
\mathl{e {{|}} d}{} bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus
\mathl{d \in I=(a_1 , \ldots , a_n)}{.}
Im teilerfremden Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ = }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die vorstehende Aussage heißt \stichwort {Lemma von Bezout} {.} In einem euklidischen Bereich kann man mit dem euklidischen Algorithmus eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers bestimmen, indem man rückwärts durch den Algorithmus wandert. Die folgende Aussage heißt \stichwort {Lemma von Euklid} {.}
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien $a$ und $b$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
}
{
Da
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
teilerfremd sind, gibt es nach
dem Lemma von Bezout
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ra+sb
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{bc
}
{ = }{da
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} {c1
}
{ =} {c(ra+sb)
}
{ =} {cra +csb
}
{ =} {acr +ads
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {a(cr+ds)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.
\zwischenueberschrift{Die Faktorialität von Hauptidealbereichen}
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann ist ein Element genau dann
\definitionsverweis {prim}{}{,}}
\faktfolgerung {wenn es
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach
Lemma 1.16
stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{pc
}
{ = }{ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p)
}
{ \subset }{ (p,a)
}
{ = }{(d)
}
{ \subset }{ R
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach
dem Lemma von Euklid
den anderen Faktor $b$.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
In einem
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
lässt sich jede
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als ein Produkt von
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{} Elementen darstellen.
}
{
Angenommen, jede Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ p_1 \cdots p_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette
\mathl{a_1 =a, a_2, a_3, \ldots}{,} wobei
\mathl{a_{n+1}}{} ein nicht-trivialer Teiler von $a_n$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1)
}
{ \subset} { (a_2)
}
{ \subset} { (a_3)
}
{ \subset} { \cdots
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach
Aufgabe 3.14
ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt}
{Satz}
{}
{
In einem
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
lässt sich jede
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
darstellen als Produkt von
\definitionsverweis {Primelementen}{}{.}
Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten $p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ u \cdot p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $u$ eine Einheit ist und die $p_i$ Repräsentanten sind.
}
{
Die erste Aussage folgt direkt aus Lemma 3.6 und Satz 3.5.
Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { u \cdot p_1 \cdots p_k
}
{ =} { v \cdot q_1 \cdots q_m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und es eine Permutation $\tau$ auf
\mathl{\{ 1 , \ldots , k \}}{} gibt derart, dass $p_i$ und $q_{\tau(i)}$ assoziiert sind für alle
\mathl{i \in \{ 1 , \ldots , k \}}{.} Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über $k$. Es sei zuerst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {das sei zugelassen} {} {.}
Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet.
Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für alle kleineren $k$ bewiesen. Die Gleichung $(*)$ bedeutet insbesondere, dass $p_k$ das Produkt rechts teilt. Da $p_k$ prim ist, muss $p_k$ nach
dem Lemma von Euklid
einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass $q_m$ von $p_k$ geteilt wird. Da $q_m$ ebenfalls prim ist, sind $q_m$ und $p_k$ assoziiert. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q_m
}
{ =} {wp_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer Einheit $w$ und man kann die Gleichung $(*)$ nach $p_k$ kürzen und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u \cdot p_1 \cdots p_{k-1}
}
{ =} { (vw) \cdot q_1 \cdots q_{m-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Induktionsvoraussetzung liefert dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k-1
}
{ = }{m-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dass jedes $p_i$ zu einem $q_j$ assoziiert ist.
Diesen Satz kann man auch so ausdrücken, dass Hauptidealbereiche faktoriell sind im Sinne der folgenden Definition. Für solche Bereiche gilt ganz allgemein, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
heißt \definitionswort {faktorieller Bereich}{,} wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {Jedes
\definitionsverweis {irreduzible Element}{}{}
in $R$ ist
\definitionsverweis {prim}{}{.}
} {Jedes Element
\mathbed {a \in R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
}
}
\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie (Z)/Z ist faktoriell/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
}
{
Dies folgt sofort aus Satz 3.7.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und seien $a$ und $b$ zwei Elemente $\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen
\mathdisp {a = u \cdot p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} \mbox{ und } b = v \cdot p_1^{s_1}\cdot p_2^{s_2} \cdots p_k^{s_k}} { }
\zusatzklammer {wobei die Exponenten auch $0$ sein können und $u,v$ Einheiten sind} {} {.}
Dann gilt
\mathl{a {{|}} b}{} genau dann, wenn
\mathl{r_i \leq s_i}{} ist für alle Exponenten
\mathl{i=1, \ldots ,k}{.}
}
{
Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i -r_i
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und man kann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { a { \left( vu^{-1} p_1^{s_1-r_1} \cdots p_k^{s_k-r_k} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen
\zusatzklammer {siehe
Satz 3.7} {} {.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{-3}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der aus allen komplexen Zahlen der Form
\mathdisp {a+b \sqrt{3} { \mathrm i} \text{ mit } a,b \in \Z} { }
besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen
\mathl{\Z[ \frac{1+ \sqrt{3} { \mathrm i} }{2} ]}{} ist. Letzterer Ring ist nach
Satz 2.15
euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in $R$ noch nicht einmal die eindeutige Primfaktorzerlegung, es ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(1+ \sqrt{3} { \mathrm i} )(1- \sqrt{3} { \mathrm i})
}
{ =} {4
}
{ =} {2 \cdot 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in $R$
\zusatzklammer {und im Eisensteinring} {} {}
keine Elemente mit Betragsquadrat $2$. Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+ \sqrt{3} { \mathrm i}
}
{ =} { { \frac{ 1+ \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Faktoren zueinander
\definitionsverweis {assoziiert}{}{,}
aber nicht in $R$, da es dort die Einheit
\mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }}{} nicht gibt. Das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2, 1 + \sqrt{3} { \mathrm i} )
}
{ =} {( 1 - \sqrt{3} { \mathrm i}, 1 + \sqrt{3} { \mathrm i} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist in $R$ kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Restklassenringe von Hauptidealbereichen}
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{$p$ ist ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}
}
{
Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\zusatzklammer {auch für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{p
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
siehe
Aufgabe 3.23,
und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{R/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \notin }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es ergibt sich eine echte Idealinklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p)
}
{ \subset }{(a,p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,p)
}
{ = }{ (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{cb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $c$ keine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist und $p$ prim
\zusatzklammer {also nach
Lemma 1.16
auch irreduzibel} {} {}
ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,p)
}
{ = }{ (1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und das bedeutet modulo $p$, also in
\mathl{R/(p)}{,} dass $a$ eine Einheit ist. Also ist
\mathl{R/(p)}{} ein Körper.
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