Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 3

Der euklidische Algorithmus

Euklidische Bereiche heißen so, weil in ihnen der euklidische Algorithmus ausgeführt werden kann.

Definition

Es seien Elemente $a, b$ (mit $b \neq 0$ ) eines euklidischen Bereichs $R$ mit euklidischer Funktion $δ$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen $r_{0} = a$ und $r_{1} = b$ und die mittels der Division mit Rest

r_{i} = q_{i} r_{i + 1} + r_{i + 2}

rekursiv bestimmte Folge $r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.^[1]

Satz

Es seien Elemente $r_{0} = a, r_{1} = b \neq 0$ eines euklidischen Bereiches $R$ mit euklidischer Funktion $δ$ gegeben. Dann besitzt die Folge $r_{i}$ , $i = 0, 1, 2, \dots$ , der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.

Es ist $r_{i + 2} = 0 oder δ (r_{i + 2}) < δ (r_{i + 1})$ .
Es gibt ein (minimales) $k \geq 2$ mit $r_{k} = 0$ .
Es ist
$ggT (r_{i + 1}, r_{i}) = ggT (r_{i}, r_{i - 1}) .$
Es sei $k \geq 2$ der erste Index derart, dass $r_{k} = 0$ ist. Dann ist
$ggT (a, b) = r_{k - 1} .$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
Solange $r_{i} \neq 0$ ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen $δ (r_{i})$ immer kleiner, sodass irgendwann der Fall $r_{i} = 0$ eintreten muss.
Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von $r_{i + 1}$ und von $r_{i + 2}$ ist, so zeigt die Beziehung
$r_{i} = q_{i} r_{i + 1} + r_{i + 2},$

dass $t$ auch ein Teiler von $r_{i}$ und damit ein gemeinsamer Teiler von $r_{i + 1}$ und von $r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.
Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette
$ggT (a, b) = ggT (b, r_{2}) = ggT (r_{2}, r_{3}) = \dots = ggT (r_{k - 2}, r_{k - 1}) = ggT (r_{k - 1}, r_{k}) = ggT (r_{k - 1}, 0) = r_{k - 1} .$

◻

Als Beispiel zum Euklidischen Algorithmus lösen wir die folgende Aufgabe.

Aufgabe

Bestimme in $ℤ$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $1071$ und $1029$ .

Lösung

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:

1071 = 1 \cdot 1029 + 42,

1029 = 24 \cdot 42 + 21,

42 = 2 \cdot 21 + 0 .

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.

Aufgabe

Bestimme in $ℤ [i]$ mithilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von $7 + 4 i$ und $5 + 3 i$ .

Lösung

Wir setzen $a = 7 + 4 i$ und $b = 5 + 3 i$ und führen die Division mit Rest $a / b$ durch. Es ist (in $ℂ$ oder in $ℚ [i]$ )

\frac{a}{b} = \frac{7 + 4 i}{5 + 3 i} = \frac{(7 + 4 i) (5 - 3 i)}{(5 + 3 i) (5 - 3 i)} = \frac{47 - i}{34} = \frac{47}{34} - \frac{1}{34} i .

Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $1$ , sodass die Division mit Rest ergibt:

a = 1 \cdot b + r mit r = a - b = 2 + i .

Die nächste durchzuführende Division ist somit

\frac{b}{r} = \frac{5 + 3 i}{2 + i} = \frac{(5 + 3 i) (2 - i)}{(2 + i) (2 - i)} = \frac{13 + i}{5} = \frac{13}{5} + \frac{1}{5} i .

Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $3$ , sodass die Division mit Rest ergibt:

b = 3 \cdot r + s mit s = b - 3 r = 5 + 3 i - 3 (2 + i) = - 1.

Da dies eine Einheit ist, sind $a = 7 + 4 i$ und $b = 5 + 3 i$ teilerfremd.

Das Lemma von Bézout und das Lemma von Euklid

Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente $a_{1}, \dots, a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$ , und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1}, \dots, a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r_{1}, \dots, r_{n} \in R$ mit $r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} + \dots + r_{n} a_{n} = d$ .

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente $a_{1}, \dots, a_{n}$ eine Darstellung der $1$ .

Beweis

Es sei $I = (a_{1}, \dots, a_{n})$ das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit $I = (d)$ . Wir behaupten, dass $d$ ein größter gemeinsamer Teiler der $a_{1}, \dots, a_{n}$ ist. Die Inklusionen $(a_{i}) \subseteq I = (d)$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der $a_{1}, \dots, a_{n}$ . Dann ist wieder $(d) = I \subseteq (e)$ , was wiederum $e ∣ d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus $d \in I = (a_{1}, \dots, a_{n})$ .

Im teilerfremden Fall ist $I = (a_{1}, \dots, a_{n}) = R$ .

◻

Die vorstehende Aussage heißt Lemma von Bézout. In einem euklidischen Bereich kann man mit dem euklidischen Algorithmus eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers bestimmen, indem man rückwärts durch den Algorithmus wandert. Die folgende Aussage heißt Lemma von Euklid.

Lemma

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a, b, c \in R$ . Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $b c$ .

Dann teilt $a$ den Faktor $c$ .

Beweis

Da $a$ und $b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bézout Elemente $r, s \in R$ mit $r a + s b = 1$ . Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $b c$ teilt, schreiben wir als $b c = d a$ . Damit gilt

c = c 1 = c (r a + s b) = c r a + c s b = a c r + a d s = a (c r + d s),

was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.

◻

Die Faktorialität von Hauptidealbereichen

Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Lemma 1.16 stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $a b$ teilt, sagen wir $p c = a b$ . Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p) \subset (p, a) = (d) \subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor $b$ .

◻

Lemma

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a \neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

Beweis

Angenommen, jede Zerlegung $a = p_{1} \dots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette $a_{1} = a, a_{2}, a_{3}, \dots$ , wobei $a_{n + 1}$ ein nicht-trivialer Teiler von $a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

(a_{1}) \subset (a_{2}) \subset (a_{3}) \subset \dots .

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe 3.14 ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

◻

Satz

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a \neq 0$ darstellen als ein Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten $p$ , so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung $a = u \cdot p_{1}^{r_{1}} \cdot p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}}$ , wobei $u$ eine Einheit ist und die $p_{i}$ Repräsentanten sind.

Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Lemma 3.6 und Satz 3.5.

Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass, wenn

a = u \cdot p_{1} \dots p_{k} = v \cdot q_{1} \dots q_{m}

zwei Primfaktorzerlegungen sind, dann $k = m$ ist und es eine Permutation $τ$ auf ${1, \dots, k}$ derart gibt, dass $p_{i}$ und $q_{τ (i)}$ für alle $i \in {1, \dots, k}$ assoziiert sind. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über $k$ . Es sei zuerst $k = 0$ (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was $m = 0$ bedeutet.

Es sei also $k > 0$ und die Aussage sei für alle kleineren $k$ bewiesen. Die Gleichung $(*)$ bedeutet insbesondere, dass $p_{k}$ das Produkt rechts teilt. Da $p_{k}$ prim ist, muss $p_{k}$ einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass $q_{m}$ von $p_{k}$ geteilt wird. Da $q_{m}$ ebenfalls prim ist, sind $q_{m}$ und $p_{k}$ assoziiert. Also ist

q_{m} = w p_{k}

mit einer Einheit $w$ und man kann die Gleichung $(*)$ nach $p_{k}$ kürzen und erhält

u \cdot p_{1} \dots p_{k - 1} = (v w) \cdot q_{1} \dots q_{m - 1} .

Die Induktionsvoraussetzung liefert dann $k - 1 = m - 1$ und dass jedes $p_{i}$ zu einem $q_{j}$ assoziiert ist.

◻

Diesen Satz kann man auch so ausdrücken, dass Hauptidealbereiche faktoriell im Sinne der folgenden Definition sind. Für solche Bereiche gilt ganz allgemein, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.

Definition

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

Jedes irreduzible Element in $R$ ist prim.
Jedes Element $a \in R$ , $a \neq 0$ , ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.

Korollar

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

Beweis

Dies folgt sofort aus Satz 3.7.

◻

Korollar

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a$ und $b$ zwei Elemente $\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen

a = u \cdot p_{1}^{r_{1}} \cdot p_{2}^{r_{2}} \dots p_{k}^{r_{k}} und b = v \cdot p_{1}^{s_{1}} \cdot p_{2}^{s_{2}} \dots p_{k}^{s_{k}}

(wobei die Exponenten auch $0$ sein können und $u, v$ Einheiten sind). Dann gilt $a ∣ b$ genau dann, wenn $r_{i} \leq s_{i}$ für alle Exponenten $i = 1, \dots, k$ ist.

Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist $s_{i} - r_{i} \geq 0$ , und man kann

b = a (v u^{- 1} p_{1}^{s_{1} - r_{1}} \dots p_{k}^{s_{k} - r_{k}})

schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen (siehe Satz 3.7).

◻

Beispiel

Wir betrachten den Ring $R = ℤ [\sqrt{- 3}]$ , der aus allen komplexen Zahlen der Form

a + b \sqrt{3} i mit a, b \in ℤ

besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen $ℤ [\frac{1 + \sqrt{3} i}{2}]$ ist. Letzterer Ring ist nach Satz 2.15 euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in $R$ noch nicht einmal die eindeutige Faktorzerlegung in irreduzible Elemente. Es ist nämlich

(1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i) = 4 = 2 \cdot 2

und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in $R$ (und im Eisensteinring) keine Elemente mit Betragsquadrat $2$ gibt. Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen

1 + \sqrt{3} i = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} \cdot 2

die Faktoren zueinander assoziiert, aber nicht in $R$ , da es dort die Einheit $\frac{1 + \sqrt{3} i}{2}$ nicht gibt. Das Ideal

(2, 1 + \sqrt{3} i) = (1 - \sqrt{3} i, 1 + \sqrt{3} i)

ist in $R$ kein Hauptideal.

Restklassenringe von Hauptidealbereichen

Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $p \neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

$p$ ist ein Primelement.
$R / (p)$ ist ein Integritätsbereich.
$R / (p)$ ist ein Körper.

Beweis

Die Äquivalenz (1) $\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für $p = 0$ ), siehe Aufgabe 3.23, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei $a \in R / (p)$ von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$ . Es ist dann $a \notin (p)$ und es ergibt sich eine echte Idealinklusion $(p) \subset (a, p)$ . Ferner können wir $(a, p) = (b)$ schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt $p = c b$ . Da $c$ keine Einheit ist und $p$ prim (also nach Lemma 1.16 auch irreduzibel) ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also $(a, p) = (1)$ , und das bedeutet modulo $p$ , also in $R / (p)$ , dass $a$ eine Einheit ist. Also ist $R / (p)$ ein Körper.

◻

Fußnoten

↑ Da wir einen euklidischen Bereich ohne Eindeutigkeitsbedingung in der Division mit Rest definiert haben, ist diese Restfolge nicht unbedingt eindeutig bestimmt. Die relevanten Eigenschaften hängen aber nicht von Auswahlen ab und in allen wichtigen Beispielen ist die Division mit Rest eindeutig.

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[1] Da wir einen euklidischen Bereich ohne Eindeutigkeitsbedingung in der Division mit Rest definiert haben, ist diese Restfolge nicht unbedingt eindeutig bestimmt. Die relevanten Eigenschaften hängen aber nicht von Auswahlen ab und in allen wichtigen Beispielen ist die Division mit Rest eindeutig.

[1]