Lineare Abbildung/Basiswechsel/Ohne Beweis/Textabschnitt
Lemma
Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde.
Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix
beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach beschreiben.
Beweis
Die linearen Standardabbildungen bzw. zu den Basen seien mit bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm
wobei die Kommutativität auf Fakt und Fakt beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
Korollar
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Es seien und Basen von .
Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich bzw. (beidseitig) beschreiben, die Beziehung
Beweis
Dies folgt direkt aus Fakt.
Definition
Zwei quadratische Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.
Nach Fakt sind zu einer linearen Abbildung die beschreibenden Matrizen bezüglich zweier Basen ähnlich zueinander.