Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt/Beweis2

Beweis

Von (1) nach (2). Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ obere Dreiecksgestalt besitzt. Dann folgt durch direkte Interpretation der Matrix, dass die Untervektorräume

${}V_{i}:=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$

${}\varphi$-invariant sind und somit eine invariante Fahne vorliegt.

Von (2) nach (1). Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine ${}\varphi$-invariante Fahne. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,.$

Da die Fahne invariant ist, gilt

${}\varphi (v_{i})=b_{1i}v_{1}+b_{2i}v_{2}+\cdots +b_{ii}v_{i}\,.$

Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ somit obere Dreiecksgestalt.

Von (1) nach (3). Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$, wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.

Aus (3) folgt (4), da das Minimalpolynom nach Fakt ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist.

Von (4) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei die Fälle

${}n=0,1\,$

klar sind. Nach Voraussetzung und nach Fakt besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert und damit auch einen Eigenvektor. Nach Fakt gibt es einen ${}(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum

${}V_{n-1}\subset V\,,$

der ${}\varphi$-invariant ist. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ eine Basis von ${}V_{n-1}$, die wir durch ${}v_{n}\in V\setminus V_{n-1}$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird ${}\varphi$ durch eine Matrix der Gestalt

${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,n-1}&a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\0&\ldots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Die ${}(n-1)\times (n-1)$-Untermatrix oben links beschreibt dabei die (beidseitige) Einschränkung ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$ von ${}\varphi$ auf ${}V_{n-1}$ bezüglich der gegebenen Basis. Nach Fakt ist das Minimalpolynom von ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$ ein Teiler des Minimalpolynoms von ${}\varphi$ und zerfällt daher wie dieses in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung ist ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$ trigonalisierbar und damit auch ${}\varphi$ selbst.

Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung ${}\varphi$ werde bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben, und bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ durch die obere Dreiecksmatrix ${}T$. Dann gilt nach Fakt die Beziehung ${}T=BMB^{-1}$, wobei ${}B$ den Basiswechsel beschreibt.

Zur bewiesenen Aussage