Lineare Gruppe/C/Kompakte Untergruppe Zariski dicht/Linear reduktiv/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass es zu jeder ${}{\mathbb {C} }$-rationalen Darstellung

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

auf einem ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum ${}V$ und einem ${}G$-Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ein ${}G$-Komplement gibt. Die induzierte Darstellung

$\rho \colon K\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

ist stetig. Daher gibt es nach Fakt ein ${}K$-Komplement ${}W\subseteq V$. Wir betrachten

$H:={\left\{g\in G\mid g(W)=W\right\}}.$

Dies ist eine Untergruppe von ${}G$, die ${}K$ umfasst. Nach Fakt ist ${}H$ Zariski-abgeschlossen und daher gleich ${}G$.

Zur bewiesenen Aussage