Lineare Invariantentheorie/Alternierende Gruppe/Invariantenring/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$.

Dann gilt für die natürliche Operation der Permutationsgruppe ${}S_{n}$ auf dem Polynomring die Gleichheit

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\operatorname {sgn} }^{S_{n}}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{S_{n}}\cdot \triangle \,,$

wobei  ${}\triangle =\prod _{j<i}(X_{i}-X_{j})$  die Vandermondesche Determinante ist.

Beweis

Das Polynom ${}\triangle$ hat die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer Transposition das Vorzeichen um ${}-1$ ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn ${}i$ und ${}i+1$ miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor ${}X_{i+1}-X_{i}$ der Faktor ${}X_{i}-X_{i+1}$ und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird ${}\triangle$ auf ${}-\triangle$ abgebildet.
Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom ${}F$ ein Vielfaches von ${}\triangle$ ist. Der andere Faktor ist dann automatisch ${}S_{n}$-invariant.

Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der Faktorialität von ${}K[V]$ zu zeigen, dass ${}X_{i}-X_{j}$ ein Teiler von ${}F$ ist (${}i\neq j$). Wir schreiben ${}F$ in den neuen Variablen ${}X_{k},k\neq i,j,X_{i}+X_{j},X_{i}-X_{j}$ als

${}F=\sum _{n=0}^{m}G_{n}{\left(X_{k},X_{i}+X_{j}\right)}{\left(X_{i}-X_{j}\right)}^{n}\,.$

Dann ist einerseits

$F(X_{i}\mapsto X_{j})=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}G_{n}{\left(X_{k},X_{i}+X_{j}\right)}{\left(X_{i}-X_{j}\right)}^{n}\,$

und anderseits (da ${}F$ signumsinvariant ist)

$F(X_{i}\mapsto X_{j})=-F=-\sum _{n=0}^{m}G_{n}{\left(X_{k},X_{i}+X_{j}\right)}{\left(X_{i}-X_{j}\right)}^{n}\,.$

Daraus folgt wegen  ${}\operatorname {char} (K)\neq 2$,  dass für ${}n$ gerade  ${}G_{n}=0$  sein muss. Insbesondere ist  ${}G_{0}=0$.  Also ist  ${}F=H{\left(X_{i}-X_{j}\right)}$,  wie behauptet.

$\Box$

Noch einmal explizit: Es geht um die Polynome, die relativ zur Signumsabbildung invariant sind, für die also

${}F\sigma =\operatorname {sgn} (\sigma )F\,$

für alle Permutationen gilt. Für eine gerade Permutation ${}\sigma$ muss also

${}F\sigma =F\,$

sein, für eine ungerade Permutation dagegen

${}F\sigma =-F\,.$

Insbesondere sind solche Polynome invariant unter der alternierenden Gruppe.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik  ${}\operatorname {char} (K)\neq 2$.  Die alternierende Gruppe ${}A_{n}$ operiere natürlich auf  ${}V=K^{n}$. 

Dann ist

${}K[V]^{A_{n}}=K[V]^{S_{n}}\oplus K[V]_{\operatorname {sgn} }^{S_{n}}=K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\oplus K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\cdot \triangle \,.$

Beweis

Die Gleichheit rechts ergibt sich aus Fakt und Fakt. Auf ${}K[V]^{A_{n}}$ operiert die Restklassengruppe  ${}S_{n}/A_{n}=\{1,-1\}=\mathbb {Z} /(2)$  wie in Fakt beschrieben. Es sei ${}\tau$ das nichttriviale Element daraus. Dieses wird repräsentiert durch eine beliebige ungerade Permutation, etwa durch eine Transposition. Es sei  ${}F\in K[V]^{A_{n}}$  ein Polynom, das invariant unter der alternierenden Gruppe ist. Nach Fakt  (3) ist ${}F\tau$ unabhängig von dem gewählten Repräsentanten ${}\tau$. Es ist

${}F={\frac {1}{2}}(F+F\tau )+{\frac {1}{2}}(F-F\tau )\,,$

wobei die beiden Summanden symmetrisch bzw. signumsinvariant sind. Dies überprüft man, indem man die (geraden oder ungeraden) Permutationen darauf anwendet. Die Summe ist direkt, da der Durchschnitt ${}0$ ist: Ein Polynom, das sowohl symmetrisch als auch signumsinvariant ist, muss ${}0$ sein.

$\Box$

Beispiel

Die natürliche Operation der alternierenden Gruppe  ${}A_{3}\cong \mathbb {Z} /(3)$  auf dem ${}K^{3}$ wird durch den Zykel

$e_{1}\longmapsto e_{2},\,e_{2}\longmapsto e_{3},\,e_{3}\longmapsto e_{1}$

erzeugt. Besitzt ${}K$ dritte primitive Einheitswurzeln, so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis (vergleiche Fakt) mit den Eigenvektoren

$e_{1}+e_{2}+e_{3},\,e_{1}+\zeta e_{2}+\zeta ^{2}e_{3},\,e_{1}+\zeta ^{2}e_{2}+\zeta e_{3}.$

Wir führen die neuen Variablen

$U=X+Y+Z,\,V=X+\zeta Y+\zeta ^{2}Z,\,W=X+\zeta ^{2}Y+\zeta Z$

ein. In dieser Basis ist der erzeugende Automorphismus durch

$U\longmapsto U,\,V\longmapsto \zeta V,\,W\longmapsto \zeta ^{2}W$

gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich

$K[U,V^{3},VW,W^{3}].$

Die einzige Relation ist durch  ${}V^{3}W^{3}=(VW)^{3}$  gegeben.

Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition ${}Y\leftrightarrow Z$ lässt ${}U$ unverändert und vertauscht ${}V$ und ${}W$. Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass ${}V^{3}$ und ${}W^{3}$ vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher

$K[U,VW,V^{3}+W^{3}].$

Dabei sind

${}{\begin{aligned}VW&=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\zeta XY+\zeta ^{2}XY+\zeta XZ+\zeta ^{2}XZ+\zeta YZ+\zeta ^{2}YZ\\\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}V^{3}&=X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+6XYZ+3\xi ^{2}XY^{2}+3\xi X^{2}Y+3\xi XZ^{2}+3\xi ^{2}X^{2}Z+3\xi ^{2}YZ^{2}+3\xi Y^{2}Z\\\,\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}W^{3}&=X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+6XYZ+3\xi XY^{2}+3\xi ^{2}X^{2}Y+3\xi ^{2}XZ^{2}+3\xi X^{2}Z+3\xi YZ^{2}+3\xi ^{2}Y^{2}Z.\\\,\end{aligned}}$

Für die Vandermondesche Determinante gilt

${}{\begin{aligned}\triangle &=(Y-X)(Z-X)(Z-Y)\\&=XY^{2}-X^{2}Y+X^{2}Z-XZ^{2}+YZ^{2}-Y^{2}Z\\&={\frac {1}{3{\left(\xi ^{2}-\xi \right)}}}{\left(V^{3}-W^{3}\right)}.\end{aligned}}$