Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $U_i$, $i\in I$, eine offene Überdeckung von $M$ mit orientierten Karten und es sei $h_j$, $j\in J$, eine dieser Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins, die nach Fakt existiert. Zu jedem  $P\in M$  gibt es eine offene Umgebung  $P\in V_P\subseteq M$  derart, dass  $h_j{|}_{V_P}=0$  bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Es sei $Y$ der Träger von $\omega$. Die Überdeckung  $Y\subseteq \bigcup _{P\in M}{V}_P$  besitzt wegen der vorausgesetzten Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir

$Y\subseteq V_1\cup \dots \cup V_r=V.$

Daher sind überhaupt nur endlich viele der $h_j$ auf $V$ von $0$ verschieden. Wir setzen  ${\omega }_j=h_j\omega$;  diese Differentialformen sind ebenfalls stetig differenzierbar. Der Träger von $h_j$ ist eine in $M$ abgeschlossene Teilmenge, die in $U_{i(j)}$ liegt, daher liegt der Träger von ${\omega }_j$ in $Y\cap U_{i(j)}$ und ist selbst kompakt nach Aufgabe. Es gilt

$\omega =\sum _{j\in J}{\omega }_j,$

wobei nur endlich viele dieser Differentialformen ${\omega }_j$ von $0$ verschieden sind, da  ${\omega }_j{|}_{M\setminus Y}=0$  für alle $j$ ist und

${\omega }_j{|}_V=0$

für alle $j$ bis auf endlich viele Ausnahmen. Wegen der Additivität des Integrals von Differentialformen und der Additivität der äußeren Ableitung kann man die Aussage für die einzelnen ${\omega }_j$ getrennt beweisen. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform gegeben ist, die kompakten Träger besitzt, der ganz in einer Kartenumgebung $U$ liegt.
Es liegt ein Diffeomorphismus $\alpha :U\to V$ mit  $V\subseteq H$  offen vor, der zugleich einen Diffeomorphismus zwischen den Rändern  $\partial U=\partial M\cap U$  und  $\partial V=\partial H\cap V$  induziert. Dabei gilt

${\int }_{\partial U}\omega ={\int }_{\partial V}{\alpha }^{-1\ast }\omega$

und

${\int }_{U}d\omega ={\int }_V{\alpha }^{-1\ast }(d\omega )={\int }_{V}d\left({\alpha }^{-1\ast }\omega \right)$

nach Fakt  (5). Wir können also von einer auf  $V\subseteq H$  definierten stetig differenzierbaren Differentialform mit kompaktem Träger ausgehen, die wir auf ganz $H$ außerhalb des Trägers als Nullform fortsetzen können.
Wegen der Kompaktheit des Trägers gibt es einen hinreichend großen Quader  $Q\subseteq H$,  dessen eine Seite $S$ auf $\partial H$ liegt und der den Träger von $\omega$ nur in $S$ trifft. Auf allen anderen Seiten von $Q$ ist $\omega$ (und damit auch $d\omega$) die Nullform. Daher gilt einerseits

${\int }_{H}d\omega ={\int }_{Q}d\omega$

und andererseits

${\int }_{\partial H}\omega ={\int }_S\omega ={\int }_{\partial Q}\omega .$

Somit folgt die Aussage aus der Quaderversion des Satzes von Stokes.

Zur bewiesenen Aussage