Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei , , eine offene Überdeckung von mit orientierten Karten und es sei , , eine dieser Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins, die nach Fakt existiert. Zu jedem gibt es eine offene Umgebung derart, dass bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Es sei der Träger von . Die Überdeckung besitzt wegen der vorausgesetzten Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir . Daher sind überhaupt nur endlich viele der auf von verschieden. Wir setzen ; diese Differentialformen sind ebenfalls stetig differenzierbar. Der Träger von ist eine in abgeschlossene Teilmenge, die in liegt, daher liegt der Träger von in und ist selbst kompakt nach Aufgabe. Es gilt

wobei nur endlich viele dieser Differentialformen von verschieden sind, da für alle ist und

für alle bis auf endlich viele Ausnahmen. Wegen der Additivität des Integrals von Differentialformen und der Additivität der äußeren Ableitung kann man die Aussage für die einzelnen getrennt beweisen. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare -Differentialform gegeben ist, die kompakten Träger besitzt, der ganz in einer Kartenumgebung liegt.
Es liegt ein Diffeomorphismus mit offen vor, der zugleich einen Diffeomorphismus zwischen den Rändern und induziert. Dabei gilt

und

nach Fakt  (5). Wir können also von einer auf definierten stetig differenzierbaren Differentialform mit kompaktem Träger ausgehen, die wir auf ganz als Nullform fortsetzen können. Diese Form können wir nach Aufgabe stetig differenzierbar auf eine offene Umgebung von im fortsetzen.
Wegen der Kompaktheit des Trägers gibt es einen hinreichend großen Quader , dessen eine Seite auf liegt und der den Träger von nur in trifft. Auf allen anderen Seiten von ist (und damit auch ) die Nullform. Daher gilt einerseits

und andererseits

Somit folgt die Aussage aus der Quaderversion des Satzes von Stokes.