Operation/Ring und Spektrum/Linear/Textabschnitt

Aus Wikiversity

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zu jedem liegt also ein Ringautomorphismus

vor, der wiederum zu einer Spektrumsabbildung

führt, die eine Homöomorphie ist. Die Operation von auf ergibt als eine Operation von auf als Gruppe von Homöomorphismen. Da wir die Operation auf dem Ring von rechts schreiben, und das Spektrum kontravariant ist, ist es natürlich, die Operation auf dem affinen Schema von links zu schreiben. Wir werden gleich sehen, dass man bei einer linearen Operation auf einem Vektorraum und der zugehörigen Operation auf dem Polynomring über das Spektrum die ursprüngliche Operation zurückgewinnt.



Lemma  

Es sei ein Körper und und seien endlichdimensionale -Vektorräume. Es sei

eine -lineare Abbildung und

der zugehörige -Algebrahomomorphismus zwischen den Polynomringen und

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann kommutiert das Diagramm

wobei die vertikalen Abbildungen die natürlichen Einbettungen sind.

Beweis  

Es seien und die zu den Vektoren bzw. gehörigen maximalen Ideale. Die Aussage folgt aus



Proposition  

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum, auf dem eine Gruppe linear operiere. Es sei

die zugehörige Operation auf dem Polynomring und

die zugehörige Operation auf dem Spektrum.

Dann liegt über die natürliche Einbettung eine Fortsetzung der Operation vor.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.