Operation/Ring und Spektrum/Linear/Textabschnitt

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zu jedem ${}\sigma \in G$ liegt also ein Ringautomorphismus

$\varphi _{\sigma }\colon R\longrightarrow R$

vor, der wiederum zu einer Spektrumsabbildung

$\varphi _{\sigma }^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

führt, die eine Homöomorphie ist. Die Operation von ${}G$ auf ${}R$ ergibt als eine Operation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ als Gruppe von Homöomorphismen. Da wir die Operation auf dem Ring von rechts schreiben, und das Spektrum kontravariant ist, ist es natürlich, die Operation auf dem affinen Schema von links zu schreiben. Wir werden gleich sehen, dass man bei einer linearen Operation auf einem Vektorraum und der zugehörigen Operation auf dem Polynomring über das Spektrum die ursprüngliche Operation zurückgewinnt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ und ${}W$ seien endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume. Es sei

$\psi \colon V\longrightarrow W$

eine ${}K$-lineare Abbildung und

$\varphi \colon K[W]\longrightarrow K[V]$

der zugehörige ${}K$-Algebrahomomorphismus zwischen den Polynomringen und

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[W]\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann kommutiert das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&W&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}&{\stackrel {\varphi ^{*}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Spek} {\left(K[W]\right)}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei die vertikalen Abbildungen die natürlichen Einbettungen sind.

Beweis

Es seien ${}{\mathfrak {m}}_{v}={\left\{F\in K[V]\mid F(v)=0\right\}}$ und ${}{\mathfrak {m}}_{w}={\left\{G\in K[W]\mid G(w)=0\right\}}$ die zu den Vektoren ${}v$ bzw. ${}w$ gehörigen maximalen Ideale. Die Aussage folgt aus

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}({\mathfrak {m}}_{v})&=\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{v})\\&={\left\{G\in K[W]\mid \varphi (G)\in {\mathfrak {m}}_{v}\right\}}\\&={\left\{G\in K[W]\mid \varphi (G)(v)=0\right\}}\\&={\left\{G\in K[W]\mid {\left(G\circ \psi \right)}(v)=0\right\}}\\&={\left\{G\in K[W]\mid G(\psi (v))=0\right\}}\\&={\mathfrak {m}}_{\psi (v)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum, auf dem eine Gruppe ${}G$ linear operiere. Es sei

$K[V]\times G\longrightarrow K[V]$

die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}K[V]$ und

$G\times \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}$

die zugehörige Operation auf dem Spektrum.

Dann liegt über die natürliche Einbettung ${}V\subseteq \operatorname {Spek} {\left(K[V]\right)}$ eine Fortsetzung der Operation vor.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$