Partielle Ableitungen/R/Einführung/Textabschnitt

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Es sei eine durch

gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index die übrigen Variablen , , als Konstanten, so erhält man eine Abbildung , die nur von abhängt (entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter). Falls diese Funktion, als Funktion in einer Variablen, differenzierbar ist, so sagen wir, dass partiell differenzierbar bezüglich ist und bezeichnen diese Ableitung mit . Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese einfach berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von .


Definition  

Es sei offen und sei eine Abbildung durch

gegeben. Es sei ein Punkt. Für fixierte Indizes und betrachten wir die Abbildung

(wobei ein reelles Intervall mit

derart sei, dass gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen , , fixiert seien. Ist diese Funktion in differenzierbar, so heißt partiell differenzierbar in bezüglich der Koordinate . Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ist) mit

und nennt sie die -te partielle Ableitung von in .

Die Abbildung heißt partiell differenzierbar im Punkt , falls für alle und die partiellen Ableitungen in existieren. Die -te partielle Ableitung von in wird mit

bezeichnet.

Diese Definition führt die -te partielle Ableitung einer Funktion auf den Ableitungsbegriff in einer Variablen zurück, indem die anderen Variablen „festgehalten“ und als Parameter betrachtet werden. Daher bedeutet die Existenz der -ten partiellen Ableitung von im Punkt einfach die Existenz des Limes


Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

Um die partielle Ableitung nach (in jedem Punkt) zu berechnen, betrachtet man als eine Konstante, so dass eine nur von abhängige Funktion dasteht. Diese wird gemäß den Ableitungsregeln für Funktionen in einer Variablen abgeleitet, so dass sich

ergibt. Für die partielle Ableitung nach betrachet man als eine Konstante und erhält


Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Insbesondere machen partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist, bzw. wenn eben von vornherein ein betrachtet wird.



Lemma  

Es sei offen, ein Punkt und sei

eine Abbildung.

Dann ist in genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

In diesem Fall stimmt die -te partielle Ableitung von in mit der Richtungsableitung von in in Richtung des -ten Standardvektors überein, und ist in genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

Beweis  

Sei . Wir können uns wegen Fakt auf eine einzige Komponentenfunktion beschränken. Da partielle Ableitungen die Ableitungen von Funktionen in einer Variablen sind, ergibt sich



Definition  

Es sei offen und sei eine Abbildung

gegeben. Dann heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt partiell differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

die -te partielle Ableitung von .


Definition  

Es sei offen und sei eine Abbildung

gegeben, die in partiell differenzierbar sei. Dann heißt die Matrix

die Jacobi-Matrix zu im Punkt .


Beispiel  

Wir betrachten die Abbildung , die durch

gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von sind

und die partiellen Ableitungen von sind

Damit erhalten wir für einen beliebigen Punkt die Jacobi-Matrix

Für einen speziellen Punkt, z.B. , setzt man einfach ein: