Nach
Fakt
ist eine
stetige Abbildung
-
genau dann eine
Lösung des Anfangswertproblems,
wenn die Integralgleichung
-
erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des
Banachschen Fixpunktsatzes
dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung
(man spricht von einem Funktional)
-
einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in
(aus einem gewissen Teilintervall von mit Werten in ).
Die Fixpunkteigenschaft
bedeutet gerade, dass
ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach definieren, diesen metrischen Raum dann als
vollständig
und das Funktional als
stark kontrahierend
nachweisen.
Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung
-
und ein
mit
-
für alle
und .
Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der
Abschluss
von , also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in liegt. Aufgrund von
Fakt
gibt es ein
mit
-
(da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt).
Wir ersetzen nun durch ein kleineres Intervall
-
mit
,
und
.
Wir betrachten nun die Menge der
stetigen Abbildungen
Dabei wird also mit der
Maximumsnorm
auf versehen. Dieser Raum ist nach
Fakt
und nach
Aufgabe
wieder ein vollständiger metrischer Raum.
Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall bzw. der zugehörigen Menge die Abbildung
-
Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass wieder zu gehört. Für
ist aber nach
Fakt
und ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.
Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien
gegeben. Für ein
ist
Da dies für jedes
gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt
-
d.h. es liegt eine
starke Kontraktion
vor. Daher besitzt ein eindeutiges Fixelement
,
und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von .
Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung
gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder
-
und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu
gehören muss.