Potenzreihenring/Allgemein und eine Variable/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein kommutativer Ring und eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form

wobei für alle ist.

Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. In einer Variablen hat man

mit .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit

den Potenzreihenring in Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in Variablen).




Satz  

Sei ein Körper und sei der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.

Dann ist eine formale Potenzreihe genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ist.

Beweis  

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

die eine Potenzreihe auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe mit

angeben. Für ergibt sich daraus die Bedingung , die wegen eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich . Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten für schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten , , der Produktreihe gleich sind. Für den -ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

Dabei sind bis auf alle Werte festgelegt, und wegen ergibt sich eine eindeutige Lösung für .




Korollar  

Sei ein Körper und der Potenzreihenring in einer Variablen.

Dann ist ein diskreter Bewertungsring.

Beweis  

Zunächst ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal . Wenn nämlich eine Potenzreihe keine Einheit ist, so muss nach Fakt der konstante Term von gleich sein. Dann kann man aber mit der umindizierten Potenzreihe schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind und von verschiedene Potenzreihen, so ist

und

mit . Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient

da die kleineren Koeffizienten alle sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal von erzeugt, wobei das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten von Potenzreihen in dem Ideal ist.


Man kann Potenzreihen nicht nur addieren und multiplizieren, sondern auch, unter gewissen Zusatzbedingungen, Potenzreihen in andere Potenzreihen einsetzen. Diese Operation entspricht der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.


Definition  

Es sei ein Körper und eine Potenzreihe. Es sei eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term . Dann nennt man die Potenzreihe

die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch

festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten -Tupel summiert.

Man beachte in der vorstehenden Definition, dass wegen nur über summiert wird, so dass alle beteiligten Summen endlich sind. Die Formeln für das Einsetzen sind derart, dass sie bei Polynomen das übliche Einsetzen von Polynomen in Polynome ergeben. Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen liefert wieder einen Einsetzungshomomorphismus der Potenzreihenringe.



Lemma  

Sei ein Körper mit dem Potenzreihenring . Es sei eine Potenzreihe mit konstantem Term .

Dann definiert durch Einsetzen einen -Algebrahomomorphismus

Beweis  

Die Abbildung ist wohldefiniert. Um zu zeigen, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt, muss man lediglich gewisse Koeffizienten vergleichen. Diese hängen immer nur von endlich vielen Koeffizienten der beteiligten Potenzreihen an, so dass sich diese Aussage aus dem polynomialen Fall ergibt.




Lemma  

Sei ein Körper, der Potenzreihenring über und mit und .

Dann definiert der durch definierte Einsetzungshomomorpismus einen -Algebraautomorphismus auf .

Beweis  

Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe mit gibt. Dabei muss und sein. Sei nun die Potenreihe mit der gewünschten Eigenschaft bis zum -Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten hat man nach der Definition die Bedingung

Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an .

Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung

Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus , und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da nach Fakt ein diskreter Bewertungsring, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.