Potenzreihenring/Allgemein und eine Variable/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}T_{1},\ldots ,T_{n}$ eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,,$

wobei ${}a_{\nu }\in R$ für alle ${}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ ist.

Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. In einer Variablen hat man

${}F\cdot G={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\,$

mit ${}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit

$R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$

den Potenzreihenring in ${}n$ Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in ${}n$ Variablen).

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.

Dann ist eine formale Potenzreihe ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ${}a_{0}\neq 0$ ist.

Beweis

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

$K[\![T]\!]\longrightarrow K,\,F\longmapsto a_{0},$

die eine Potenzreihe ${}F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit

${}FG={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}=1\,$

angeben. Für ${}b_{0}$ ergibt sich daraus die Bedingung ${}a_{0}b_{0}=1$, die wegen ${}a_{0}\neq 0$ eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich ${}b_{0}=a_{0}^{-1}$. Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten ${}b_{j}$ für ${}j<n$ schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten ${}c_{k}$, ${}1\leq k<n$, der Produktreihe ${}FG$ gleich ${}0$ sind. Für den ${}n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

${}0=c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}\,.$

Dabei sind bis auf ${}b_{n}$ alle Werte schon festgelegt, und wegen ${}a_{0}\neq 0$ ergibt sich eine eindeutige Lösung für ${}b_{n}$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen.

Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.

Beweis

Zunächst ist ${}R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(T)$. Wenn nämlich eine Potenzreihe ${}F$ keine Einheit ist, so muss nach Fakt der konstante Term von ${}F$ gleich ${}0$ sein. Dann kann man aber ${}F=T{\tilde {F}}$ mit der umindizierten Potenzreihe ${}{\tilde {F}}$ schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind ${}F$ und ${}G$ von ${}0$ verschiedene Potenzreihen, so ist

${}F=a_{k}T^{k}+a_{k+1}T^{k+1}+\ldots \,$

und

${}G=b_{\ell }T^{\ell }+a_{\ell +1}T^{\ell +1}+\ldots \,$

mit ${}a_{k},b_{\ell }\neq 0$. Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient

${}c_{k+\ell }=a_{k}b_{\ell }\neq 0\,,$

da die kleineren Koeffizienten alle ${}0$ sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal ${}\neq 0$ von ${}T^{j}$ erzeugt, wobei ${}j$ das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten ${}\neq 0$ von Potenzreihen in dem Ideal ist.

$\Box$

Man kann Potenzreihen nicht nur addieren und multiplizieren, sondern auch, unter gewissen Zusatzbedingungen, Potenzreihen in andere Potenzreihen einsetzen. Diese Operation entspricht der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe. Es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann nennt man die Potenzreihe

${}{\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$

die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch

${}c_{k}=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\,$

festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten ${}s$-Tupel ${}(j_{1},\ldots ,j_{s})\in \mathbb {N} _{+}^{s}$ summiert.

Man beachte in der vorstehenden Definition, dass wegen ${}b_{0}=0$ nur über ${}j\geq 1$ summiert wird, sodass alle beteiligten Summen endlich sind. Die Formeln für das Einsetzen sind derart, dass sie bei Polynomen das übliche Einsetzen von Polynomen in Polynome ergeben. Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen liefert wieder einen Einsetzungshomomorphismus der Potenzreihenringe.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$. Es sei ${}G\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$.

Dann definiert ${}G$ durch Einsetzen einen ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[\![T]\!]\longrightarrow K[\![S]\!],\,F\longmapsto F(G).$

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Um zu zeigen, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt, muss man lediglich gewisse Koeffizienten vergleichen. Diese hängen immer nur von endlich vielen Koeffizienten der beteiligten Potenzreihen an, sodass sich diese Aussage aus dem polynomialen Fall ergibt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über ${}K$ und ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$.

Dann definiert der durch ${}T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen ${}K$-Algebraautomorphismus auf ${}K[\![T]\!]$.

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ mit ${}F(G)=T$ gibt. Dabei muss ${}a_{0}=0$ und ${}a_{1}=b_{1}^{-1}$ sein. Es sei nun die Potenreihe ${}F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum ${}(k-1)$-Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten ${}c_{k}$ hat man nach der Definition die Bedingung

${}{\begin{aligned}0&=c_{k}\\&=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\\&=\sum _{s=0}^{k-1}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}+a_{k}b_{1}^{k}.\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an ${}a_{k}$.

Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung

$K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto F}{\longrightarrow }}K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto G}{\longrightarrow }}K[\![T]\!].$

Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus ${}T\mapsto T$, und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da ${}K[\![T]\!]$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.

$\Box$