Prädikatenlogik/Struktur/Homomorphismus/Textabschnitt

In der Mathematik spielen strukturerhaltende Abbildungen eine herausragende Rolle. Eine erststufige Version dieses Konzeptes kommt in folgender Definition zum Ausdruck.

Definition

Es sei ${}S$ ein erststufiges Symbolalphabet und ${}M$ und ${}N$ seien ${}S$-Strukturen. Eine Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt ${}S$-Homomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Für jede Konstante ${}c\in S$ ist

   ${}\varphi {\left(c^{M}\right)}=c^{N}\,.$

2. Für jedes ${}n$-stellige Funktionssymbol ${}f\in S$ ist

   ${}\varphi {\left(f^{M}{\left(m_{1},\ldots ,m_{n}\right)}\right)}=f^{N}{\left(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})\right)}\,$

   für alle ${}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$.

3. Für jedes ${}n$-stellige Relationsymbol ${}R\in S$ impliziert die Gültigkeit von

   $R^{M}(m_{1},\ldots ,m_{n})$

   die Gültigkeit von

   $R^{N}{\left(\varphi (m_{1}),\ldots ,\varphi (m_{n})\right)}.$

Die üblichen Begriffe der Mathematik, beispielsweise ein Gruppenhomomorphismus, ein Ringhomomorphismus, eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, eine monotone Abbildung zwischen geordneten Mengen, fallen unter diesen abstrakten Homomorphiebegriff.

Definition

Es sei ${}S$ ein erststufiges Symbolalphabet und ${}M$ und ${}N$ seien ${}S$-Strukturen. Eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt ${}S$-Isomorphismus, wenn sowohl ${}\varphi$ als auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ ein ${}S$-Homomorphismus ist.

Zwei ${}S$-Strukturen heißen ${}S$-isomorph, wenn es einen ${}S$-Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Bei ${}M=N$ spricht man auch von einem Automorphismus.

Beispiel

Es sei ${}S$ ein erststufiges Symbolalphabet, das nur aus einer Variablenmenge besteht, die Konstantenmenge und die Mengen der Funktionssymbole und der Relationssymbole seien also leer. Dann ist jede (nichtleere) Menge ${}M$ unmittelbar eine ${}S$-Struktur und jede Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ist ein ${}S$-Homomorphismus. Insbesondere ist jede bijektive Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein ${}S$-Isomorphismus.

Bemerkung  

Es sei ${}S$ ein erststufiges Symbolalphabet und ${}M$ und ${}N$ seien ${}S$-Strukturen. Eine bijektive Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N,$

die ein ${}S$-Homomorphismus ist, muss kein ${}S$-Isomorphismus sein, da die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ im Allgemeinen kein Homomorphismus sein muss. Deshalb fordert man in der Definition eines Isomorphismus explizit die Homomorphie der Umkehrabbildung. Wenn allerdings das Symbolalphabet ${}S$ keine Relationssymbole enthält, so ist die Umkehrabbildung automatisch ein Homomorphismus, siehe Aufgabe. Ein Extremfall liegt, vor, wenn ein Relationssymbol ${}R$ in ${}M$ als die leere Relation interpretiert wird. Dann verhält sich ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ bezüglich dieses Relationssymbols ${}S$-homomorph, unabhängig von der Interpretation von ${}R$ auf ${}N$.

Wir haben in Fakt gesehen, dass je zwei Modelle der (allerdings nicht erststufig formulierten) Dedekind-Peano-Axiome zueinander isomorph sind. Dabei war ${}0$ die einzige Konstante und die Nachfolgerabbildung die einzige (einstellige) Funktion. Auch zwei Modelle der reellen Zahlen sind isomorph, was schwieriger zu beweisen ist, siehe Fakt. Die zugehörigen Axiomensysteme legen also das intendierte Modell bis auf Isomorphie fest, und zwar ist sogar jeweils der Isomorphismus eindeutig bestimmt. Letzteres gilt beispielsweise für die komplexen Zahlen nicht. Die komplexen Zahlen können als algebraischer Abschluss von ${}\mathbb {R}$ eingeführt werden. Je zwei solche algebraische Abschlüsse sind untereinander isomorph, allerdings ist die Isomorphie nicht eindeutig bestimmt. Beispielsweise ist die komplexe Konjugation ein nichttrivialer Automorphismus auf ${}{\mathbb {C} }$.

Lemma

Es sei ${}S$ ein erststufiges Symbolalphabet, ${}M$ und ${}N$ seien ${}S$-Strukturen und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein ${}S$-Homomorphismus. Es sei ${}\lambda$ eine Variablenbelegung in ${}M$ und ${}\varphi \circ \lambda$ die nach ${}N$ übertragene Variablenbelegung. Es seien ${}I$ und ${}J$ die zugehörigen Interpretationen.

Dann ist

${}\varphi (I(t))=J(t)\,$

für alle ${}S$-Terme ${}t$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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