Prägarben/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ eine Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen ${}U\subseteq V$ eine Abbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

1. Zu ${}U=V$ ist

   ${}\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$

2. Zu offenen Mengen

   ${}U\subseteq V\subseteq W\,$

   ist stets

   ${}\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$

Die Abbildungen ${}\rho _{V,U}$ heißen dabei Restriktionsabbildungen. Die Mengen ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge ${}U$.

Grundbeispiele für Prägarben (und Garben) sind die folgenden Konstruktionen.

Beispiel

Es seien ${}X$ und ${}Z$ topologische Räume. Jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ kann man die Menge der auf ${}U$ definierten stetigen Abbildungen nach ${}Z$ zuordnen, also

${}C^{0}(U,Z)={\left\{\varphi :U\rightarrow Z\mid \varphi {\text{ stetig}}\right\}}\,.$

Da man eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow Z$ auf jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ einschränken kann und da man zu ${}U\subseteq V\subseteq W$ die Einschränkung von ${}W$ auf ${}U$ in einem Schritt oder in zwei Schritten machen kann, erhält man eine Prägarbe.

Ein Spezialfall hiervon wird im folgenden Beispiel formuliert, in dem eine zusätzliche Struktur, nämlich ein beringter Raum vorliegt.

Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ kann man die Menge der auf ${}U$ definierten reellwertigen stetigen Funktionen zuordnen, also

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

Da man eine stetige Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.

Beispiel

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ kann man die Menge der auf ${}U$ definierten reellwertigen differenzierbaren Funktionen zuordnen, also

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{1}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig differenzierbar}}\right\}}\,.$

Da man eine differenzierbare Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.

Beispiel

Auf einem topologischen Raum ${}X$ und zu einer fixierten Menge ${}M$ ist die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}M$ und jeder Inklusion die Identität auf ${}M$ zuordnet, eine Prägarbe, die die konstante Prägarbe heißt.

Beispiel

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$p\colon Y\longrightarrow X$

eine fixierte stetige Abbildung. Diese Situation induziert für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ eine stetige Abbildung

$Y{|}_{U}=p^{-1}(U)\longrightarrow U.$

Somit kann man zu ${}U$ die Menge der auf ${}U$ definierten stetigen Schnitte zu ${}p^{-1}(U)\rightarrow U$ zuordnen, also

${}S(U,Y)={\left\{s:U\rightarrow p^{-1}(U)\mid s{\text{ stetiger Schnitt zu }}p\right\}}\,.$

Da man einen stetigen Schnitt auf jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ einschränken kann, wobei der Bildbereich entsprechend auf ${}p^{-1}(V)$ eingeschränkt wird, erhält man eine Prägarbe.

Aufgrund dieses wichtigen Beispiels nennt man ein Element ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ auch einen Schnitt der Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ über ${}U$. Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine kleinere offene Menge ${}V\subseteq U$ schreibt man auch suggestiver

${}s{|}_{V}=\rho _{U,V}(s)\,.$

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt eine Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ eine Unterprägarbe von ${}{\mathcal {F}}$, wenn ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}\subseteq {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist.

Da differenzierbare Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit insbesondere stetig sind, bildet die Prägarbe der differenzierbaren Funktionen eine Untergarbe der Prägarbe der stetigen reellwertigen Funktionen.