Prägarben/Riemannsche Fläche/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ eine Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen ${}U\subseteq V$ eine Abbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

1. Zu ${}U=V$ ist

   ${}\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$

2. Zu offenen Mengen

   ${}U\subseteq V\subseteq W\,$

   ist stets

   ${}\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$

Die Abbildungen ${}\rho _{V,U}$ heißen dabei Restriktionsabbildungen. Die Mengen ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge ${}U$. Statt ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ schreib mat auch ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}$.

Grundbeispiele für Prägarben (und Garben) sind die folgenden Konstruktionen.

Beispiel

Es seien ${}X$ und ${}Z$ topologische Räume. Jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ kann man die Menge der auf ${}U$ definierten stetigen Abbildungen nach ${}Z$ zuordnen, also

${}C^{0}(U,Z)={\left\{\varphi :U\rightarrow Z\mid \varphi {\text{ stetig}}\right\}}\,.$

Da man eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow Z$ auf jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ einschränken kann und da man zu ${}U\subseteq V\subseteq W$ die Einschränkung von ${}W$ auf ${}U$ in einem Schritt oder in zwei Schritten machen kann, erhält man eine Prägarbe.

Ein Spezialfall hiervon wird im folgenden Beispiel formuliert, in dem eine zusätzliche Struktur, nämlich ein beringter Raum vorliegt.

Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ kann man die Menge der auf ${}U$ definierten reellwertigen stetigen Funktionen zuordnen, also

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

Da man eine stetige Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.

Ebenso kann man die stetigen ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen oder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die differenzierbaren Funktionen oder auf einer komplexen Mannigfaltigkeit die holomorphen Funktionen betrachten.

Beispiel

Auf einem topologischen Raum ${}X$ und zu einer fixierten Menge ${}M$ ist die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}M$ und jeder Inklusion die Identität auf ${}M$ zuordnet, eine Prägarbe, die die konstante Prägarbe heißt.

Beispiel

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$p\colon Y\longrightarrow X$

eine fixierte stetige Abbildung. Diese Situation induziert für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ eine stetige Abbildung

$Y{|}_{U}=p^{-1}(U)\longrightarrow U.$

Somit kann man zu ${}U$ die Menge der auf ${}U$ definierten stetigen Schnitte zu ${}p^{-1}(U)\rightarrow U$ zuordnen, also

${}S(U,Y)={\left\{s:U\rightarrow p^{-1}(U)\mid s{\text{ stetiger Schnitt zu }}p\right\}}\,.$

Da man einen stetigen Schnitt auf jede offene Teilmenge ${}V\subseteq U$ einschränken kann, wobei der Bildbereich entsprechend auf ${}p^{-1}(V)$ eingeschränkt wird, erhält man eine Prägarbe.

Aufgrund dieses wichtigen Beispiels nennt man ein Element ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ auch einen Schnitt der Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ über ${}U$. Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine kleinere offene Menge ${}V\subseteq U$ schreibt man auch suggestiver

${}s{|}_{V}=\rho _{U,V}(s)\,.$

Beispiel

Zu einer holomorphen Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ von riemannschen Flächen ${}Y$ und ${}X$ und eine zusammenhängende offene Menge ${}U\subseteq X$, über der die Überlagerung trivialisiert mit ${}p^{-1}(U)\cong U\times F$ und einem diskreten Raum ${}F$, ist ein stetiger Schnitt einfach gegeben durch die Wahl eines Elementes ${}w\in F$, da unter diesen Bedingungen der Schnitt ganz in einer Kopie von ${}U$ in ${}Y$ landet und daher die Umkehrabbildung zur durch ${}p$ induzierten Homöomorphie ist. Insbesondere stimmt die Prägarbe der stetigen Schnitte mit der Prägarbe der holomorphen Schnitte überein. Bei einer nichtidentischen Überlagerung von zusammenhängenden Flächen gibt es keinen globalen Schnitt.

Bei einer endlichen holomorphen Abbildung ${}p\colon Y\rightarrow X$ und einer offenen Umgebung eines Punktes ${}x\in X$ des Verzweigungsbildes und einer hinreichend kleinen offenen Umgebung gibt es Schnitte in diejenigen Scheibenumgebungen der Urbilder, auf denen keine Verzweigung stattfindet, aber nicht in die anderen.

Definition

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt eine Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ eine Unterprägarbe von ${}{\mathcal {F}}$, wenn ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}\subseteq {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist.

Da holomorphe Funktionen auf einer riemannschen Fläche insbesondere stetig sind, bildet die Prägarbe der holomorphen Funktionen eine Untergarbe der Prägarbe der beliebig oft reell-differenzierbaren ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen.