Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Globale Erzeugtheit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf ${}X$. Man sagt, dass ${}{\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine Familie ${}s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ (${}i\in I$) derart gibt, dass für jeden Punkt ${}x\in X$ der Halm ${}{\mathcal {M}}_{x}$ als ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$-Modul von den (Einschränkungen der) ${}s_{i}$ erzeugt wird.

Proposition

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein Schema. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ wird von globalen Schnitten erzeugt.
2. Ein quasikohärenter Modul ${}{\mathcal {M}}$ wird genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn es einen surjektiven Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}^{(I)}\rightarrow {\mathcal {M}}$ gibt.
3. Auf einem affinen Schema wird jeder quasikohärente Modul von globalen Schnitten erzeugt.
4. Wenn ${}{\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird und ${}{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ surjektiv ist, so wird auch ${}{\mathcal {N}}$ von globalen Schnitten erzeugt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Auf dem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$ über einem kommutativen Ring ${}R$

werden die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(k)$ bei ${}k\geq 0$ von globalen Schnitten erzeugt werden und bei ${}k<0$ und ${}d\geq 1$ nicht.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$.

Dann gibt es ein ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass ${}{\mathcal {G}}(\ell )$ von globalen Schnitten erzeugt wird.

Beweis

Es ist ${}{\mathcal {G}}{|}D_{+}(X_{i})\cong {\widetilde {M}}_{i}$ mit einem endlich erzeugten Modul ${}M_{i}$ über dem zu ${}D_{+}(X_{i})$ gehörenden Polynomring ${}R_{i}$. Für die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(1)$ ist der Invertierbarkeitsort zum globalen Schnitt ${}X_{i}$ nach Aufgabe gleich ${}D_{+}(X_{i})$. Für ein endliches ${}R_{i}$-Modulerzeugendensystem ${}s_{ij}$, ${}j\in J_{i}$, von ${}M_{i}$ gibt es nach Fakt  (2) einen (gemeinsamen) Exponenten ${}n$ derart, dass die ${}X_{i}^{n}s_{ij}$ von globalen Elementen aus ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {G}}(n)\right)}$ herrühren. Dies kann man für jedes ${}i$ machen und erhält somit ein ${}\ell$ derart, dass die globalen Schnitte aus ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {G}}(\ell )\right)}$ die Moduln auf der offenen affinen Überdeckung erzeugen. Dies gilt dann auch in allen Halmen und somit liegt globale Erzeugtheit vor.

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Satz

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$.

Dann gibt es eine endliche direkte Summe ${}\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(\ell _{j})$ und einen surjektiven Modulhomomorphismus

$\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(\ell _{j})\longrightarrow {\mathcal {G}}.$

Beweis

Nach Fakt gibt es ein ${}\ell$ derart, dass ${}{\mathcal {G}}(\ell )$ von endlich vielen globalen Schnitten erzeugt wird. Nach Fakt  (2) liegt also ein surjektiver Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}(\ell )$

vor. Wir tensorieren mit ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )$ und erhalten eine Surjektion

${\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )\right)}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}.$

$\Box$