Quadratische Körpererweiterung/Reell/Einführung/Textabschnitt

Die aller einfachste Körpererweiterung ist die identische Körpererweiterung  ${}K=K$,  die den Grad ${}1$ besitzt. Die nächst einfachsten sind die vom Grad zwei.

Definition

Eine endliche Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Beispiele sind  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]$,  wobei ${}p$ eine Primzahl ist (oder sonst eine rationale Zahl ohne rationale Quadratwurzel) oder  ${}K=K[X]/(P)$  zu einem irreduziblen quadratischen Polynom  ${}P=X^{2}+aX+b$. 

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei  ${}K\subseteq L$  eine quadratische Körpererweiterung.

Dann gibt es ein ${}x\in L$ , ${}x\notin K$ und ${}x^{2}\in K$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist ${}L$ ein zweidimensionaler Vektorraum über ${}K$, und darin ist  ${}K=K1$  ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element  ${}y\in L$  derart, dass ${}1$ und ${}y$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden. Wir können

${}y^{2}=a+by\,$

schreiben, bzw. (da ${}2$ eine Einheit ist),

${}0=y^{2}-by-a={\left(y-{\frac {b}{2}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}-a\,.$

Mit  ${}x=y-{\frac {b}{2}}$  gilt also  ${}x^{2}={\frac {b^{2}}{4}}+a\in K$  und ${}1$ und ${}x$ bilden ebenfalls eine ${}K$-Basis von ${}L$.

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Satz

Es sei  ${}\mathbb {R} \subseteq K$  eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen.

Dann ist ${}K$ isomorph zu ${}\mathbb {R}$ oder zu ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Das reelle normierte Polynom  ${}P\in \mathbb {R} [X]$  zerfällt über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist

${}P=\prod _{j}(X-\lambda _{j})\,$

mit  ${}\lambda _{j}=a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$.  Da ${}P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt

${}\prod _{j}(X-\lambda _{j})=P={\overline {P}}=\prod _{j}(X-{\overline {\lambda _{j}}})\,.$

Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem ${}j$ ein ${}k$ mit

${}{\overline {\lambda _{j}}}=\lambda _{k}\,.$

D.h. entweder, dass  ${}\lambda _{j}\in \mathbb {R}$  ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber  ${}j\neq k$  und dann ist

${}(X-\lambda _{j})(X-{\overline {\lambda _{j}}})=(X-a_{j}-b_{j}{\mathrm {i} })(X-a_{j}+b_{j}{\mathrm {i} })=X^{2}-2a_{j}X+a_{j}^{2}+b_{j}^{2}\,$

ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von ${}P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.

Es sei nun  ${}\mathbb {R} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Es sei  ${}\mathbb {R} \subset L$  und ${}x\in L$, ${}x\not \in \mathbb {R}$. Dann ist ${}x$ algebraisch über ${}\mathbb {R}$ und nach Fakt ist  ${}\mathbb {R} [x]\cong \mathbb {R} [X]/(P)$  mit einem irreduziblen Polynom ${}P$ (dem Minimalpolynom zu ${}x$). Das Polynom ${}P$ besitzt in ${}{\mathbb {C} }$ Nullstellen, sodass es einen ${}\mathbb {R}$-Algebrahomomorphismus ${}\mathbb {R} [X]/(P)\rightarrow {\mathbb {C} }$ gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung  ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$.  Da ${}{\mathbb {C} }$ algebraisch abgeschlossen ist, muss nach Aufgabe  ${}{\mathbb {C} }=L$  sein.

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