Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir definieren eine Anordnung auf den rationalen Zahlen.


Definition  

Auf den rationalen Zahlen wird die Größergleichrelation durch (bei positiven Nennern ), falls in gilt, definiert.

Wir müssen zuerst zeigen, dass diese Definition sinnvoll ist, also unabhängig von den gewählten Darstellungen der rationalen Zahlen als Brüche. Seien also

und

mit positiven Nennern. Dann ist

und

Aus

ergibt sich dann gemäß Fakt  (6) durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl

Dies schreiben wir als

woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl die Abschätzung

ergibt, die

bedeutet. Wegen der Symmetrie der Situation gilt auch die Umkehrung. Die Beziehung ist also unabhängig von dem gewählten Bruchrepräsentanten. Die zugrunde liegende Idee ist, die beiden zu vergleichenden Brüche auf einen gemeinsamen positiven Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Es ist

und

Es liegt also einerseits das -Vielfache und andererseits das -Vielfache des gleichen Stammbruches . Es leuchtet ein, dass die Größerbeziehung nur von dem ganzzahligen Vorfaktor abhängt. Daraus und aus der Tatsache, dass man auch drei rationale Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner bringen kann, folgt auch direkt, dass es sich um eine totale Ordnung handelt, siehe Aufgabe.


Beispiel  

Wir wollen die rationalen Zahlen

miteinander vergleichen. Man kann alle diese Zahlen auf den gemeinsamen Nenner bringen, wodurch man die Darstellungen

erhält, aus denen man an den Zählern unmittelbar die Größenverhältnisse ablesen kann. Man kann auch die Brüche paarweise gemäß der Definition vergleichen, wegen

ist beispielsweise


Um die Ordnungseigenschaften der rationalen Zahlen leichter erfassen zu können, empfiehlt es sich, mit angeordneten Körpern zu arbeiten. Dies ist einfach ein angeordneter Ring, der zugleich ein Körper ist.


Definition  

Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt (für beliebige ),
  2. Aus und folgt (für beliebige ),

erfüllt.

Die beiden Eigenschaften heißen wieder die Verträglichkeit mit der Addition und die Verträglichkeit mit der Multiplikation. Es wird sich später herausstellen, dass auch die reellen Zahlen einen angeordneten Körper bilden. Elemente mit heißen positiv und mit heißen negativ.



Satz  

Die rationalen Zahlen bilden mit der in der Definition festgelegten Ordnung

einen angeordneten Körper.

Beweis  

Dass eine totale Ordnung vorliegt wird in Aufgabe gezeigt. Es sei , und mit positiven Nennern . Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt annehmen. Sei

also

Dann ist nach Fakt  (2) auch

und somit ist

Wenn die beiden Brüche und beide sind, so sind alle Zähler und Nenner aus und dies überträgt sich auf , also ist auch dies .


Da ein angeordneter Körper insbesondere ein angeordneter Ring ist, gelten die Eigenschaften aus Fakt unmittelbar auch für und für . Die dort angegebenen Regeln gelten bei einem angeordneten Körper auch dann, wenn man mit statt mit arbeitet. Wesentlich neue Aspekte bei einem angeordneten Körper treten in Bezug auf inverse Elemente auf.



Lemma  

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Aus folgt auch .
  2. Aus folgt auch .
  3. Für ist genau dann, wenn ist.
  4. Aus folgt .
  5. Für positive Elemente ist äquivalent zu .

Beweis