Zum Inhalt springen

Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Intervallschachtelung/Wurzeln/Textabschnitt

Aus Wikiversity


Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

gegen konvergiert.

Die Intervalllängen müssen also insbesondere eine fallende Nullfolge bilden. Es wird nicht eine bestimmte Geschwindigkeit dieser Konvergenz verlangt. Die Intervallhalbierung ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der man zusätzlich verlangt, dass das folgende Intervall jeweils die untere oder die obere Hälfte des Vorgängerintervalls ist.


Es sei , , eine Intervallschachtelung in .

Dann besteht der Durchschnitt

aus genau einem Punkt

.

Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl und jedem

gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl mit

Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung , und zwar setzen wir

und eine beliebige reelle Zahl mit . Es seien die Intervallgrenzen bis zum Index bereits definiert, die Intervalle seien ineinander enthalten und es gelte dabei

Wir setzen

und

Dadurch wird eine Grenze beibehalten und die andere Grenze wird durch das arithmetische Mittel der beiden Vorgängergrenzen ersetzt. Insbesondere gelten die angegebenen Eigenschaften für alle Intervalle und es liegt eine Intervallschachtelung vor. Es sei die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt festgelegte reelle Zahl. Nach Aufgabe gilt

Damit ist nach Fakt  (2)

Wegen der Konstruktion der Intervallgrenzen ist dies nach Fakt sowohl als auch , also ist .

Diese eindeutig bestimmte Zahl wird mit oder mit bezeichnet.