Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Intervallschachtelung/Wurzeln/Textabschnitt

Definition

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

Die Intervalllängen müssen also insbesondere eine fallende Nullfolge bilden. Es wird nicht eine bestimmte Geschwindigkeit dieser Konvergenz verlangt. Die Intervallhalbierung ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der man zusätzlich verlangt, dass das folgende Intervall jeweils die untere oder die obere Hälfte des Vorgängerintervalls ist.

Satz

Es sei ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$.

Dann besteht der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

aus genau einem Punkt

${}x\in \mathbb {R}$.

Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$

gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl ${}x$ mit

${}x^{k}=c\,.$

Beweis

Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung ${}[a_{n},b_{n}]$, und zwar setzen wir

${}a_{0}=0\,$

und ${}b_{0}$ eine beliebige reelle Zahl mit ${}b_{0}^{k}\geq c$. Es seien die Intervallgrenzen bis zum Index ${}n$ bereits definiert, die Intervalle seien ineinander enthalten und es gelte dabei

${}a_{n}^{k}\leq c\leq b_{n}^{k}\,.$

Wir setzen

${}a_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}\leq c\,,\\a_{n}{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

und

${}b_{n+1}:={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)}^{k}>c\,,\\b_{n}{\text{ sonst}}.\end{cases}}\,$

Dadurch wird eine Grenze beibehalten und die andere Grenze wird durch das arithmetische Mittel der beiden Vorgängergrenzen ersetzt. Insbesondere gelten die angegebenen Eigenschaften für alle Intervalle und es liegt eine Intervallschachtelung vor. Es sei ${}x$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt festgelegte reelle Zahl. Nach Aufgabe gilt

${}x=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}\,.$

Damit ist nach Fakt  (2)

${}x^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}^{k}\,.$

Wegen der Konstruktion der Intervallgrenzen ist dies nach Fakt sowohl ${}\leq c$ als auch ${}\geq c$, also ist ${}x^{k}=c$.

$\Box$

Diese eindeutig bestimmte Zahl wird mit ${}{\sqrt[{k}]{c}}$ oder mit ${}c^{1/k}$ bezeichnet.