Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Zu einem Skalarprodukt in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum gibt es nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsvefahren eine Orthonormalbasis . Eine solche Orthonormalbasis definiert eine bijektive lineare Abbildung

die eine Isometrie ist. Insbesondere ist eine Teilmenge genau dann offen, wenn die entsprechende Menge offen ist.
Die beiden vorgegebenen Skalarprodukte entsprechen zwei bijektiven linearen Abbildungen und , wobei die Standardbasis des jeweils auf eine Orthonormalbasis bezüglich des jeweiligen Skalarprodukts abgebildet wird. Diese Abbildungen sind Isometrien, so dass eine Teilmenge genau dann bezüglich des Skalarproduktes offen ist, wenn dass Urbild offen im bezüglich der euklidischen Standardmetrik ist.
Die Verknüpfungen

und

sind lineare Abbildungen und nach Fakt stetig, so dass sich die offenen Mengen entsprechen: Ist nämlich offen bezüglich der ersten Metrik, so ist offen und damit ist wegen der Stetigkeit von auch

offen, so dass auch bezüglich der zweiten Metrik offen ist.

Zur bewiesenen Aussage