Beweis
Zu einem
Skalarprodukt
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum gibt es
nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsvefahren
eine
Orthonormalbasis
. Eine solche Orthonormalbasis definiert eine
bijektive
lineare Abbildung
-
die eine
Isometrie
ist. Insbesondere ist eine Teilmenge
genau dann
offen,
wenn die entsprechende Menge
offen ist.
Die beiden vorgegebenen Skalarprodukte entsprechen zwei bijektiven linearen Abbildungen
und
,
wobei die Standardbasis des jeweils auf eine
Orthonormalbasis
bezüglich des jeweiligen Skalarprodukts abgebildet wird. Diese Abbildungen sind
Isometrien,
so dass eine Teilmenge
genau dann bezüglich des Skalarproduktes offen ist, wenn dass
Urbild
offen im bezüglich der euklidischen Standardmetrik ist.
Die Verknüpfungen
-
und
-
sind lineare Abbildungen und nach
Fakt
stetig,
so dass sich die offenen Mengen entsprechen: Ist nämlich
offen bezüglich der ersten Metrik, so ist offen und damit ist wegen der Stetigkeit von auch
-
offen, so dass auch bezüglich der zweiten Metrik offen ist.