Resultante/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien  $f=\sum _{i=0}^m{a}_i{X}^i$  und  $g=\sum _{j=0}^n{b}_j{X}^j$  Polynome aus $R[X]$ über dem kommutativen Ring $R$. Dann versteht man unter der Resultante die Determinante der $(m+n)\times (m+n)$-Matrix

$\left(\begin{array}{cccccccc}{a}_m& a_{m-1}& \cdots & & a_0& & & \\ & a_m& a_{m-1}& \cdots & & a_0& & \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ & & & a_m& a_{m-1}& \cdots & & a_0\\ b_n& b_{n-1}& \cdots & & b_0& & & \\ & b_n& b_{n-1}& \cdots & & b_0& & \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ & & & b_n& b_{n-1}& \cdots & & b_0\end{array}\right).$

Sie wird mit $\mathrm{Res}(f,g)$ bezeichnet.

Das Bilden der Resultante ist mit Ringwechseln $R\to R^{\prime }$ verträglich.

Lemma

Es seien  $f=\sum _{i=0}^m{a}_i{X}^i$  und  $g=\sum _{j=0}^n{b}_j{X}^j$  Polynome aus $K[X]$ über dem Körper $K$.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Polynome $f$ und $g$ haben einen gemeinsamen Faktor positiven Grades.
2. Die Polynome $f$ und $g$ haben ein gemeinsames Vielfaches, dessen Grad kleiner als $m+n$ ist.
3. Die Resultante $\mathrm{Res}(f,g)$ ist gleich $0$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt unmittelbar aus der Faktorialität von $K[X]$, siehe Fakt. Wir machen den Ansatz

$p=\sum _{k=0}^{n-1}{c}_k{X}^k$

und

$q=\sum _{\ell =0}^{m-1}{d}_{\ell }{X}^{\ell }.$

Die Eigenschaft (2) bedeutet, dass es Polynome $p$ und $q$ mit der angegebenen Gradbedingung gibt, die

$fp+gq=0$

erfüllen. Wenn man die hinter dieser Polynomgleichheit stehenden Koeffizientenbedingungen ausrechnet, so erhält man das lineare Gleichungssystem

$a_0{c}_0+b_0{d}_0=0,$

$a_1{c}_0+a_0{c}_1+b_1{d}_0+b_0{d}_1=0,$

$⋮$

$a_m{c}_{n-1}+b_n{d}_{m-1}=0.$

Diese Gleichungen ergeben sich ebenfalls, wenn man die Matrixbedingung

$(c_{n-1},\dots ,c_0,d_{m-1},\dots ,d_0)\left(\begin{array}{cccccccc}{a}_m& a_{m-1}& \cdots & & a_0& & & \\ & a_m& a_{m-1}& \cdots & & a_0& & \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ & & & a_m& a_{m-1}& \cdots & & a_0\\ b_n& b_{n-1}& \cdots & & b_0& & & \\ & b_n& b_{n-1}& \cdots & & b_0& & \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ & & & b_n& b_{n-1}& \cdots & & b_0\end{array}\right)=0$

zeilenweise auswertet. Die Polynomgleichung hat also eine nichttriviale Lösung genau dann, wenn es für die Matrix eine nichttrivialen Zeilenvektor gibt, dessen Produkt mit der Matrix $0$ ergibt. Eine solche Lösung gibt es aber nach Fakt genau dann, wenn die Determinante der Matrix gleich $0$ ist.

$◻$

Satz

Es seien

$f,g\in K[X_1,\dots ,X_n,Y]\subseteq K(X_1,\dots ,X_n)[Y]$

Polynome über einem unendlichen Körper $K$, die keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad (in $Y$) haben.

Dann liegt die Menge der Punkte

$\{P\in K^n\mid f(P,Y)\text{ und }g(P,Y)\text{ haben eine gemeinsame Nullstelle in }Y\}$

in einer affin-algebraischen Teilmenge  $V\subset K^n$. 

Beweis

Die beiden Polynome haben auch aufgefasst in $K(X_1,\dots ,X_n)[Y]$ keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad. Nach Fakt ist daher die Resultante  $\mathrm{Res}(f,g)\ne 0$.  Die Resultante gehört zum Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$. Es sei  $P\in K^n$  ein Punkt derart, dass $f(P,Y)$ und $g(P,Y)$ eine gemeinsame Nullstelle haben. Dann ist, wiederum nach Fakt, und da die Resultante mit dem Ringwechsel

${\phi }_P:K[X_1,\dots ,X_n]⟶K$

verträglich ist,

$\mathrm{Res}(f,g)(P)=\mathrm{Res}(f(P,Y),g(P,Y))=0.$

Also sind die Punkte $P$, für die $f(P,Y)$ und $g(P,Y)$ eine gemeinsame Nullstelle haben, selbst Nullstelle der von $0$ verschiedenen Resultante, liegen also in einer echten abgeschlossenen Teilmenge.

$◻$

Siehe auch Fakt.

Beispiel

Es sei

$f=X^2+Y^2-1$

und

$g=Y-X^2,$

die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich $Y$) ist

$\mathrm{Res}(f,g)=det\left(\begin{array}{ccc}1& 0& X^2-1\\ 1& -X^2& 0\\ 0& 1& -X^2\end{array}\right)=X^4-(X^2-1)=X^4-X^2+1.$

Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch $f$ und $g$ Kurven (also der Kreis und die Parabel) in $V(X^4-X^2+1)$ liegt. Wenn man die Resultante bezüglich $X$ nimmt, so ergibt sich

$\begin{array}{cc}\mathrm{Res}(f,g)& =det\left(\begin{array}{cccc}1& 0& Y^2-1& 0\\ 0& 1& 0& Y^2-1\\ -1& 0& Y& 0\\ 0& -1& 0& Y\end{array}\right)\\ & =Y^2+Y(Y^2-1)-(-(Y^2-1)Y-(Y^2-1{)}^2)\\ & =Y^2+Y^3-Y+(Y^2-1)Y+(Y^2-1{)}^2\\ & =Y^4+2Y^3-Y^2-2Y+1.\end{array}$

Beispiel

Es sei

$f=X^2+Y^2+Z^2-1$

und

$g=XZ-1,$

die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich $Z$) ist

$\mathrm{Res}(f,g)=det\left(\begin{array}{ccc}1& 0& X^2+Y^2-1\\ X& -1& 0\\ 0& X& -1\end{array}\right)=1-X^2(X^2+Y^2-1)=1-X^4-X^2-X^2{Y}^2.$

Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch $f$ und $g$ Flächen (also die Kugel und der Zylinder über einer Hyperbel) in $V(1-X^4-X^2-X^2{Y}^2)$ liegt.