Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Endliche Kohomologie/Divisor/Bemerkung

Entsprechend zu Fakt gilt, dass für eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche ${}X$ die Kohomologiegruppen ${}H^{1}(X,{\mathcal {L}})$ endlichdimensional sind. Entsprechend zu Fakt folgt, dass die invertierbare Garbe einen meromorphen Schnitt besitzt, der abgesehen von einem Punkt holomorph ist. Dies erlaubt es, eine invertierbare Garbe als eine Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen zu realisieren. Dies bedeutet wegen Fakt, dass jede invertierbare Garbe die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}_{D}$ zu einem Divisor ${}D$ ist. Man kann also Konzepte wie den Grad eines Divisors auf jede invertierbare Garbe übertragen. Mit Fakt folgt

${}\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\,.$

Aus Fakt folgt dann wiederum im kompakten Fall, dass ${}H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })$ trivial ist.