Riemannsche Flächen/Invertierbare Garben/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${}{\mathcal {L}}$ auf einer riemannschen Fläche ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}$ isomorph zu ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ sind.

Die Strukturgarbe ist invertierbar, man kann direkt die durch ${}X$ selbst gegebene Überdeckung nehmen. Eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ heißt trivial, wenn sie isomorph zur Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist. Die von einer holomorphen Funktion ${}f\neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ erzeugte Idealgarbe

${}f{\mathcal {O}}_{X}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}\,$

ist trivial. Lokal ist nach der Definition jede invertierbare Garbe trivial, es geht also hauptsächlich um die Frage, ob es global nichttriviale invertierbare Garben gibt. Zu einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ nennt man die duale Garbe

${}{\mathcal {L}}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

auch die inverse Garbe.

Bemerkung  

Auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist die Garbe der holomorphen Differentialformen invertierbar. Dies beruht einfach darauf, dass nach Fakt lokal auf einer offenen Kreisscheibe mit der Variablen ${}z$ die holomorphen Differentialformen die Form ${}fdz$ mit einer eindeutig bestimmten holomorphen Funktion ${}f$ besitzen. Daher gibt es lokal einen Isomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{U}\rightarrow \Omega _{U}$. Die Garbe der holomorphen Differentialformen ist aber im Allgemeinen nicht trivial, in der Tat reflektieren ihre globalen Eigenschaften wichtige Informationen über ${}X$ selbst. Auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ ist nach Fakt jede global definierte holomorphe Funktion konstant, es ist also

${}\dim _{K}{\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}=1\,.$

Dagegen ist die Vektorraumdimension von ${}\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ eine wichtige Invariante von ${}X$, die (endlich ist und) das differentielle Geschlecht von ${}X$ heißt. Nach Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf der projektiven Geraden den Grad ${}-2$, daher ist ${}\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$ nicht isomorph zur Strukturgarbe.