Satz über implizite Abbildungen/C/Funktionentheorie/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ und es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ und es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge ${}V\subseteq {\mathbb {C} }^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

Beweis

Dies kann man aus Fakt in der gleichen Weise erhalten wie Fakt aus Fakt.

$\Box$

Der Satz behauptet insbesondere, dass die Faser lokal in Bijektion zu einer offenen Menge des ${}{\mathbb {C} }^{n-m}$ steht. Man kann aber nicht sagen, dass die Faser lokal biholomorph zum ${}{\mathbb {C} }^{n-m}$ ist, da wir keine holomorphe Struktur auf der Faser erklärt haben (dies wird im Rahmen der riemannschen Flächen bzw. der komplexen Mannigfaltigkeiten gemacht). Für die Funktionentheorie in einer Variablen ist bereits der Fall ${}n=2$ und ${}m=1$ entscheidend. Die Stärke der Aussage zeigt sich in der folgenden Anwendung über die Existenz von Wurzeln aus Funktionen, die in Fakt wesentlich verallgemeinert wird.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}f(P)\neq 0$. Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion ${}h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}f=h^{k}$.

Beweis

Wir betrachten die holomorphe Funktion

$\varphi \colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)-w^{k},$

in zwei Variablen, es sei ${}Q\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt mit ${}Q^{k}=f(P)$. Es ist ${}\varphi (P,Q)=0$. Die Abbildung ${}\varphi$ besitzt die partiellen Ableitungen ${}f'(z)$ und ${}kw^{k-1}$. Im Punkt ${}(P,Q)$ ist definitiv die zweite partielle Ableitung ${}\neq 0$, daher ist das totale Differential in diesem Punkt surjektiv und man kann (eine explizite Version von) Fakt anwenden. D.h. es gibt eine auf einer offenen Menge ${}V\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion

$V\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto (z,h(z)),$

die auf der Faser von ${}\varphi$ über ${}0$ liegt und ${}h(P)=Q$ erfüllt. Damit ist

${}\varphi (z,h(z))=f(z)-h(z)^{n}=0\,,$

also ${}h(z)^{n}=f(z)$ für alle ${}z\in V$.

$\Box$

Diese Aussage kann man auch aus dem Satz über die Umkehrabbildung direkt ableiten, siehe Aufgabe. Da es zu ${}f(P)\neq 0$ ${}k$ verschiedene komplexe Zahlen ${}Q$ mit ${}Q^{k}=f(P)$ gibt, gibt es auch ${}k$ verschiedene Funktionen ${}h$, die lokal ${}h^{k}=f$ erfüllen.

Beispiel

Wir betrachten das Polynom

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-5z^{2}+4z-1.$

Es gilt ${}f(2)=-5$, daher können wir Fakt anwenden, beispielsweise für die dritte Wurzel. Es gibt also eine offene Umgebung ${}2\in V$ und eine holomorphe Funktion ${}h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}h^{3}=f$. In einem gewissen Sinn ist also

${}h={\sqrt[{3}]{f}}\,,$

wobei man aber immer beachten muss, dass dadurch ${}h$ nicht eindeutig festgelegt ist.