Satz von Gauss/Ebene/Kompakte Teilmenge/Laplace und harmonische Funktion/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer offenen Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einer zweimal differenzierbaren Funktion

$u\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

nennt man

${}\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}\,$

die Laplace-Ableitung von ${}u$.

Die Zuordnung ${}u\mapsto \triangle u$ nennt man auch den Laplace-Operator.

Definition

Eine zweimal differenzierbare Funktion

$u\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einer offenen Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt harmonisch, wenn

${}\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x_{n}}}=0\,$

ist.

Eine harmonische Funktion ist also eine (zweifach differenzierbare) Funktion ${}u$, die die Laplace-Gleichung

${}\triangle u=0\,$

erfüllt. Zu einer komplex-differenzierbaren Funktion

$g\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ist sowohl der Real- als auch der Imaginärteil eine harmonische Funktion.

Wir möchten aus dem Satz von Green den sogenannten Satz von Gauss für die Ebene ableiten. Dafür beschränken wir uns auf eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ in der Ebene. Zu einer zweimal differenzierbaren Funktion

$u\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

gehört das Gradientenfeld ${}\operatorname {Grad} \,u=\left({\frac {\partial u}{\partial x}},\,{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)$. Wir betrachten das Vektorfeld

${}F(x,y)=\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,,$

das in jedem Punkt senkrecht auf dem Gradienten steht. Aufgrund von Fakt ist ${}F(x,y)$ stets tangential an die Höhenlinie durch den Punkt ${}(x,y)$. Zwischen diesem Vektorfeld und dem Laplace-Operator besteht der folgende Zusammenhang.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine regulär berandete, ebene Teilmenge mit dem Rand ${}\partial T$ und es sei

$u\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine auf einer offenen Menge ${}V\supseteq T$ definierte zweimal stetig differenzierbare Funktion.

Dann ist

${}{\begin{aligned}\int _{\partial T}{\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}&=\int _{T}\triangle ud\lambda ^{2}\\\end{aligned}}$

Beweis

Wir wenden Fakt auf das Vektorfeld

${}F(x,y)=\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,$

an. Der Integrand im Doppelintegral ist dann

${}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}y}}=\triangle u\,.$

$\Box$

Bei einer harmonischen Funktion sind also insbesondere die Wegintegrale über geschlossenen Wegen zu dem Vektorfeld ${}F$ gleich ${}0$. Bei einer nicht konstanten harmonischen Funktion sind die Höhenlinien übrigens nicht geschlossen.

Beispiel

Die Funktion

$u\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2}$

ist harmonisch. Daher ist für eine regulär berandete, ebene Teilmenge ${}T$

${}\int _{T}\triangle ud\lambda ^{2}=0\,$

und daher ist nach Fakt auch

${}\int _{\partial T}{\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}=\int _{\partial T}{\left(2y,2x\right)}=0\,.$

Für ${}T=B\left(0,1\right)$ ist beispielsweise mit der trigonometrischen Parametrisierung ${}\gamma$

${}\int _{\gamma }{\left(2y,2x\right)}=0\,.$

Dies ergibt sich auch direkt aus

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\left(y,x\right)}&=\int _{0}^{2\pi }-\sin t\cdot \sin t+\cos t\cdot \cos tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }1-2\sin ^{2}tdt\\&={\left(t-t+\sin t\cos t\right)}{|}_{0}^{2\pi }\\&=0.\end{aligned}}$

Beispiel

Die Funktion

$u\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}$

ist nicht harmonisch, ihre Laplace-Ableitung ${}\triangle u$ ist konstant gleich ${}4$. Für die Einheitskreisscheibe ${}T=B\left(0,1\right)$ ist somit

${}\int _{T}\triangle ud\lambda ^{2}=\int _{T}4d\lambda ^{2}=4\pi \,.$

Daher ist nach Fakt auch

${}\int _{\partial T}{\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}=\int _{\gamma }{\left(-2y,2x\right)}=4\pi \,,$

wobei ${}\gamma$ die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises bezeichnet. Dies ergibt sich auch direkt aus

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\left(-2y,2x\right)}&=2\int _{\gamma }{\left(-y,x\right)}\\&=2\int _{0}^{2\pi }\sin t\cdot \sin t+\cos t\cdot \cos tdt\\&=2\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=4\pi .\end{aligned}}$