Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit

Einleitung

Der Satz zur p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräumen $(V,{\mathcal {T}})$ stellt einen Zusammenhang zwischen p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie ${\mathcal {T}}$ her. Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung $U_{o}$ exisitiert. Insgesamt ist Satz über p-Normierbarkeit zusammen mit dem Satz zur Quasinormierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen und Quasinormen (siehe Köthe, Lineare Räume^[1])

Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit

Jeder topologische Vektorraum ist genau dann ${\textstyle p}$ -normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:

{\begin{array}{rcl}(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ quasinormierbar }}&\Leftrightarrow &(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ lokalbeschränkt }}\\&\Leftrightarrow &(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ p-normierbar }}\end{array}}

.

Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Vektorräume

Ein topologischer Vektorraum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}}_{V})}$ ist genau dann ${\textstyle p}$ -normierbar, wenn dieser eine ${\textstyle p}$ -konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit ${\textstyle 0<p\leq 1}$ .

{\begin{array}{rcl}(V,{\mathcal {T}}_{V}){\mbox{ p-normierbar }}&\Leftrightarrow &(V,{\mathcal {T}}_{V}){\mbox{ lokalbeschränkt }}\\\end{array}}

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Beweis

Der Beweis als Äquivalenzaussage gliedert sich in zwei Implikationen:

Beweisteil 1 - (PN-LB): Ein $p$ -normierbar Topologie ist lokal beschränkt,
Beweisteil 2 - (LB-PN): eine lokal beschränkte Topologie ist $p$ -normierbar

Beweisteil 1 - (PN-LB)

Sei ${\textstyle V}$ ${\textstyle p}$ -normierbar mit ${\textstyle p}$ -Norm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{p}}$ und $U_{\varepsilon }:={\rm {B}}_{\varepsilon }^{\|\cdot \|_{p}}(0_{_{V}})$ die ${\textstyle \varepsilon }$ -Kugeln um den Nullvektor ${\textstyle 0_{_{V}}}$ . Das Mengensystem ${\textstyle \{U_{\varepsilon }\}_{\varepsilon >0}}$ aus ${\textstyle \varepsilon }$ -Kugeln um den Nullvektor ${\textstyle 0_{_{V}}}$ . ${\textstyle \{U_{\varepsilon }\}_{\varepsilon >0}}$ bildet eine Nullumgebungsbasis der Topologie von $V$ .

Beweisschritt 1.1: Nullumgebung beschränkt

Die Nullumgebung ${\textstyle U_{1/2}}$ ist beschränkt, denn ${\textstyle \varepsilon ^{p}U_{1/2}\subset U_{\varepsilon }}$ .

Beweisschritt 2: Homogenität - Dreieckungleichung

Aus der Bedingung ${\textstyle (Q2)}$ und ${\textstyle (Q3)}$ der Definition der $p$ -Norm folgt, dass die Kugel ${\textstyle B_{\varepsilon }(0_{V})}$ absolut ${\textstyle p}$ -konvex ist, denn es gilt für ${\textstyle x,y\in U_{\varepsilon }}$ und ${\textstyle |\lambda |^{p}+|\mu |^{p}\leq 1}$ :

\left\|\lambda x+\mu y\right\|\leq |\lambda |^{p}\cdot \underbrace {\left\|x\right\|} _{<\varepsilon }+|\mu |^{p}\cdot \underbrace {\left\|y\right\|} _{<\varepsilon }<(|\lambda |^{p}+|\mu |^{p})\cdot \varepsilon \leq \varepsilon .

Beweisschritt 3: Beschränkte Nullumgebung gegeben

Sei umgekehrt ${\textstyle U}$ eine beschränkte ${\textstyle p}$ -konvexe Nullumgebung, dann enthält ${\textstyle U}$ mit der Stetigkeit der Skalarmultiplikation eine kreisförmige Nullumgebung ${\textstyle W}$ .

Beweisschritt 4: p-konvexe Darstellung

Sei nun ${\textstyle 0_{V}\not =x\in \Gamma _{p}(W)}$ mit

{\begin{array}{rcl}x&=&\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}x_{j}{\mbox{ mit }}x_{j}\in W\subset U{\mbox{ und }}\mu ^{p}:=\sum _{j=1}^{n}|\alpha _{j}|^{p}\leq 1\\\Longrightarrow x&=&\sum _{j=1}^{n}\underbrace {\frac {|\alpha _{j}|}{\mu }} _{=:\beta _{j}}\underbrace {\left({\frac {\alpha _{j}}{|\alpha _{j}|}}\mu x_{j}\right)} _{=:y_{j}\in W\subset U}{\mbox{ mit }}\left|{\frac {\alpha _{j}}{|\alpha _{j}|}}\cdot \mu \right|=\underbrace {\left|{\frac {\alpha _{j}}{|\alpha _{j}|}}\right|} _{=1}\cdot \underbrace {\mu } _{\leq 1}\leq 1.\end{array}}

Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung

Man erhält somit eine " ${\textstyle p}$ -konvexe Darstellung" von Elementen aus der absolut ${\textstyle p}$ -konvexen Menge ${\textstyle \Gamma _{p}(W)}$ durch Elemente aus ${\textstyle U}$ , denn

x=\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}y_{j}{\mbox{ mit }}y_{j}\in W\subset U,\ \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}^{p}=1,\ \beta _{j}\geq 0

Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung

Da die ${\textstyle y_{j}\in U}$ und ${\textstyle U}$ ${\textstyle p}$ -konvex gewählt war, gilt ${\textstyle \Gamma _{p}(W)\subset U}$ . Insgesamt enthält jede ${\textstyle p}$ -konvexe Nullumgebung eine absolut ${\textstyle p}$ -konvexe Nullumgebung als Teilmenge und man kann daher ${\textstyle U}$ als absolut ${\textstyle p}$ -konvex voraussetzen.

Beweisschritt 6: Minkowski-Funktionale beschränkter Mengen

Das Minkowskifunktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{U}}$ von der beschränkten Menge ${\textstyle U}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|:=\left\|\cdot \right\|_{U}^{p}}$ erzeugen die Topologie auf ${\textstyle V}$ . Das Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ erfüllt die Bedingungen ${\textstyle (PN1)-(PN2)}$ aus Definition p-Norm.

Beweisschritt 7: Dreiecksungleichung

Es bleibt für ${\textstyle x,y\in V}$ die Dreieckungleichung ${\textstyle (PN3)}$ zu zeigen. Man wählt dazu $\lambda :=\left\|x\right\|_{U}+\varepsilon$ , $\mu :=\left\|y\right\|_{U}+\varepsilon$ und einem beliebigen $\varepsilon >0$ . Damit gilt die Elementbeziehung:

{\frac {x}{\lambda }},{\frac {y}{\mu }}\in U

Beweisschritt 8: Absolut p-konvex

Da ${\textstyle U}$ absolut ${\textstyle p}$ -konvex ist gilt:

{\begin{array}{rcl}{\frac {x+y}{(\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}}}&=&{\frac {\lambda }{(\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}}}\cdot {\frac {x}{\lambda }}+{\frac {\mu }{(\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}}}\cdot {\frac {y}{\mu }}\in U\\&\Longrightarrow &x+y\in (\lambda ^{p}+\mu ^{p})^{\frac {1}{p}}\cdot U\\&\Longrightarrow &\left\|x+y\right\|\leq \lambda ^{p}+\mu ^{p}=(\left\|x\right\|_{U}+\varepsilon )^{p}+(\left\|y\right\|_{U}+\varepsilon )^{p}.\\\end{array}}

Beweisschritt 9:

Da ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt war, folgt die Behauptung. $\Box$

Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Algebren

Ein topologischer Vektorraum ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ ist genau dann ${\textstyle p}$ -normierbar, wenn dieser eine ${\textstyle p}$ -konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit ${\textstyle 0<p\leq 1}$ für die gilt:

\exists _{C>0}\forall _{x,y\in A}:\,\,\|x\cdot y\|_{p}\leq C\cdot \|x\|_{p}\cdot \|y\|_{p}

Beweisaufgabe für Studierende

Weisen Sie unter Verwendung des Satzes für die Äquivalenz der p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie und der Eigenschaft der Stetigkeit der Multiplikation die Ungleichung

\exists _{C>0}\forall _{x,y\in A}:\,\,\|x\cdot y\|_{p}\leq C\cdot \|x\|_{p}\cdot \|y\|_{p}

Hinweis: Verwenden Sie u.a. das Topologisierungslemma für Algebren.

Beispiel: Folgenräume

Sei $V:=\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,:\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty \right\}$ mit $0<p<1$ als Folgenraum gegeben.

Zeigen Sie, dass mit $\|x\|_{p}:=\|(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}:=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}$ die Menge $B_{1}(0_{V}):=\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V\,:\,\|(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}<1\}$ eine absolut $p$ -konvexe Menge ist!
Starten Sie mit $|\lambda _{1}|^{p}+|\lambda _{2}|^{p}\leq 1$ und zeigen Sie, dass $\lambda _{1}\cdot x+\lambda _{2}\cdot y\in B_{1}(0_{V})$ für $x,y\in B_{1}(0_{V})$ gilt.

Aufgabe: Endlichdimensionale p-normierbare Räume

Sei $(V,{\mathcal {T}}_{V})$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, dessen Topologie ${\mathcal {T}}_{V}$ durch eine $p$ -Norm $\|\cdot \|_{p}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ erzeugt wurde. Zeigen Sie, dass die Topologie auch durch eine äquivalente Norm $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ erzeugt werden kann.