Taylorreihe/R/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine unendlich oft differenzierbare Funktion und ${}a\in I$. Dann heißt

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

die Taylor-Reihe zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$.

Satz

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ eine Potenzreihe, die auf dem Intervall ${}]-r,r[$ konvergiere, und es sei

$f\colon ]-r,r[\longrightarrow \mathbb {R}$

die dadurch definierte Funktion.

Dann ist ${}f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt ${}0$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.

Beweis

Die unendliche Differenzierbarkeit folgt direkt aus Fakt durch Induktion. Daher existiert die Taylor-Reihe insbesondere im Punkt ${}0$. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass die ${}n$-te Ableitung von ${}f$ in ${}0$ den Wert ${}c_{n}n!$ besitzt. Dies folgt aber ebenfalls aus Fakt.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

mit

${}f(x):={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x\leq 0\,,\\e^{-{\frac {1}{x}}},\,{\text{ falls }}x>0\,.\end{cases}}\,$

Wir behaupten, dass diese Funktion unendlich oft differenzierbar ist, was nur im Nullpunkt nicht offensichtlich ist. Man zeigt zunächst durch Induktion, dass sämtliche Ableitungen von ${}e^{-{\frac {1}{x}}}$ (und der rechtsseitige Differenzenquotient im Nullpunkt) die Form ${}p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}$ mit gewissen Polynomen ${}p\in \mathbb {R} [Z]$ besitzen und dass davon der Limes für ${}x\rightarrow 0,\,x>0$ stets ${}0$ ist (siehe Aufgabe und Aufgabe.). Daher ist der (rechtsseitige) Limes für alle Ableitungen gleich ${}0$ und existiert. Alle Ableitungen am Nullpunkt haben also den Wert ${}0$ und daher ist die Taylor-Reihe im Nullpunkt die Nullreihe. Die Funktion ${}f$ ist aber in keiner Umgebung des Nullpunktes die Nullfunktion, da ${}e^{-{\frac {1}{x}}}>0$ ist.