Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Ein System ${}F$ aus offenen Teilmengen von ${}X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).

1. ${}X\in F$.
2. Mit ${}U\in F$ und ${}U\subseteq V$ ist auch ${}V\in F$.
3. Mit ${}U\in F$ und ${}V\in F$ ist auch ${}U\cap V\in F$.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}M\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann nennt man das System

${}U(M)={\left\{U\subseteq X{\text{ offen }}\mid M\subseteq U\right\}}\,$

den Umgebungsfilter von ${}M$.

Speziell nennt man zu einem Punkt ${}x\in X$ die Menge

${\left\{U\subseteq X{\text{ offen }}\mid x\in U\right\}}$

den Umgebungsfilter von ${}x$.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}X$. Dann nennt man

${}U{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\left\{U\subseteq X{\text{ offen}}\mid x_{n}\in U{\text{ für fast alle }}n\in \mathbb {N} \right\}}\,$

den zur Folge gehörenden Filter.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}F$ ein topologischer Filter und ${}x\in X$ ein Punkt. Man sagt, dass ${}F$ gegen ${}x$ konvergiert, wenn

${}U(x)\subseteq F\,$

gilt.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}X$ und ${}x\in X$ ein Punkt.

Dann konvergiert die Folge genau dann gegen ${}x$, wenn der zur Folge gehörige Filter gegen ${}x$ konvergiert.

Beweis

Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Umgebung von ${}x$. Die Folgenkonvergenzbedingung sagt, dass diese offene Menge ab einem ${}n_{0}$ sämtliche Folgenglieder, also fast alle Folgenglieder, enthält. Dies ist zu ${}U\in U{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ äquivalent.

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Lemma

Ein Ultrafilter ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$

ist irreduzibel.

Beweis

Die leere Menge gehört nach Definition nicht zu einem Ultrafilter. Es seien ${}V,W$ offene Mengen mit ${}V\cup W\in F$, aber ${}V,W\notin F$. Würde es sowohl für ${}V$ als auch für ${}W$ offene Mengen ${}U_{1},U_{2}\in F$ mit ${}U_{1}\cap V=\emptyset$ und ${}U_{2}\cap W=\emptyset$ geben, so wäre auch

${}(U_{1}\cap U_{2})\cap (V\cup W)=\emptyset \,$

im Widerspruch zur Voraussetzung. Also können wir ohne Einschränkung annehmen, dass

${}U\cap V\neq \emptyset \,$

ist für alle ${}U\in F$. Dann ist der durch all diese ${}U\cap V$ erzeugte Filter konsistent und muss mit ${}F$ übereinstimmen. Also ist ${}V\in F$.

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Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Dann ist die Menge

${}F={\left\{U\subseteq X{\text{ offen }}\mid X\setminus U{\text{ ist quasikompakt}}\right\}}\,$

ein Filter, der im Fall, dass ${}X$ nicht selbst quasikompakt ist, konsistent ist. Dies beruht darauf, dass die leere Menge quasikompakt ist, dass die Vereinigung von zwei quasikompakten Teilmengen quasikompakt ist und dass abgeschlossene Teilmengen quasikompakter Mengen nach Aufgabe wieder quasikompakt sind.

Satz

Ein topologischer Raum ${}X$ ist

genau dann quasikompakt, wenn in ihm jeder irreduzible Filter konvergiert.

Beweis

Es sei ${}X$ quasikompakt und ${}F$ ein irreduzibler Filter, von dem wir annehmen, dass er nicht konvergiert. Dann ist für alle Umgebungsfilter

${}U(x)\not \subseteq F\,.$

D.h., dass es zu jedem Punkt ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U_{x}$ mit ${}U_{x}\notin F$ gibt. Es ist dann

${}X=\bigcup _{x\in X}U_{x}\,$

eine offene Überdeckung. Wegen der Quasikompaktheit gibt es eine endliche Teilfamilie ${}U_{i}:=U_{x_{i}}$, ${}i\in I$, die ebenfalls ${}X$ überdeckt. Also ist

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\in F\,.$

Also ist ${}U_{i}\in F$ für ein ${}i$ wegen der Irreduzibilität. Das ist ein Widerspruch.

Es sei umgekehrt ${}X$ nicht quasikompakt. Der Filter aus Beispiel ist konsistent und liegt nach Fakt in einem Ultrafilter ${}F$. Angenommen, es gelte

${}U(x)\subseteq F\,$

für einen Punkt ${}x\in X$. Wir behaupten, dass dann ${}X$ doch quasikompakt wäre, im Widerspruch zur Voraussetzung. Wenn nämlich ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ist, so ist ${}x\in U_{i}$ für ein ${}i$. Wegen ${}U_{i}\in F$ ist dann

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