Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein topologischer Raum. Ein System aus offenen Teilmengen von heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ( seien offen).

  1. .
  2. Mit und ist auch .
  3. Mit und ist auch .


Definition  

Sei ein topologischer Raum und sei eine Teilmenge. Dann nennt man das System

den Umgebungsfilter von .

Speziell nennt man zu einem Punkt die Menge

den Umgebungsfilter von .


Definition  

Es sei ein topologischer Raum und eine Folge in . Dann nennt man

den zur Folge gehörenden Filter.


Definition  

Es sei ein topologischer Raum, ein topologischer Filter und ein Punkt. Man sagt, dass gegen konvergiert, wenn

gilt.



Lemma  

Es sei ein topologischer Raum und eine Folge in und ein Punkt.

Dann konvergiert die Folge genau dann gegen , wenn der zur Folge gehörige Filter gegen konvergiert.

Beweis  

Es sei eine offene Umgebung von . Die Folgenkonvergenzbedingung sagt, dass diese offene Menge ab einem sämtliche Folgenglieder, also fast alle Folgenglieder, enthält. Dies ist zu äquivalent.




Lemma  

Ein Ultrafilter auf einem topologischen Raum

ist irreduzibel.

Beweis  

Die leere Menge gehört nach Definition nicht zu einem Ultrafilter. Seien offene Mengen mit , aber . Würde es sowohl für als auch für offene Mengen mit und geben, so wäre auch

im Widerspruch zur Voraussetzung. Also können wir ohne Einschränkung annehmen, dass

ist für alle . Dann ist der durch all diese erzeugte Filter konsistent und muss mit übereinstimmen. Also ist .



Beispiel  

Es sei ein topologischer Raum. Dann ist die Menge

ein Filter, der im Fall, dass nicht selbst quasikompakt ist, konsistent ist. Dies beruht darauf, dass die leere Menge quasikompakt ist, dass die Vereinigung von zwei quasikompakten Teilmengen quasikompakt ist und dass abgeschlossene Teilmengen quasikompakter Mengen nach Aufgabe wieder quasikompakt sind.




Satz  

Ein topologischer Raum ist

genau dann quasikompakt, wenn in ihm jeder irreduzible Filter konvergiert.

Beweis  

Sei quasikompakt und ein irreduzibler Filter, von dem wir annehmen, dass er nicht konvergiert. Dann ist für alle Umgebungsfilter

D.h., dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung mit gibt. Es ist dann

eine offene Überdeckung. Wegen der Quasikompaktheit gibt es eine endliche Teilfamilie , , die ebenfalls überdeckt. Also ist

Also ist für ein wegen der Irreduzibilität. Das ist ein Widerspruch.

Sei umgekehrt nicht quasikompakt. Der Filter aus Beispiel ist konsistent und liegt nach Fakt in einem Ultrafilter . Angenommen, es gelte

für einen Punkt . Wir behaupten, dass dann doch quasikompakt wäre, im Widerspruch zur Voraussetzung. Wenn nämlich eine offene Überdeckung ist, so ist für ein . Wegen ist dann