Topologischer Raum/Grundbegriffe/Einführung/Textabschnitt

Die Menge der offenen Teilmengen des $ℝ^{n}$ , oder allgemeiner eines metrischen Raumes, bilden ein Mengensystem, das eine Topologie im Sinne der folgenden Definition ist.

Definition

Es sei $X$ eine Menge. Eine Familie $𝒯$ von Teilmengen von $X$ heißt Topologie auf $X$ , wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

Es ist $\emptyset \in 𝒯$ und $X \in 𝒯$ .
Sind $U \in 𝒯$ und $V \in 𝒯$ , so ist auch $U \cap V \in 𝒯$ .
Ist $I$ eine Indexmenge und $U_{i} \in 𝒯$ für alle $i \in I$ , so ist auch $⋃_{i \in I} U_{i} \in 𝒯$ .

Ein topologischer Raum ist ein Paar $(X, 𝒯)$ , wobei $X$ eine Menge und $𝒯$ eine Topologie auf $X$ ist.

Die Teilmengen von $X$ , die zu $𝒯$ gehören, heißen offene Mengen. Eine Teilmenge $A \subseteq X$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist, also zur Topologie gehört.

Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten $x, y \in X$ offene Mengen $U$ und $V$ mit $x \in U$ , $y \in V$ und mit $U \cap V = \emptyset$ gibt.

Es sei $(X, 𝒯)$ ein topologischer Raum. Ein System $𝒞$ von offenen Mengen in $X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in $𝒯$ als Vereinigung von offenen Mengen aus $𝒞$ erhalten kann.

In einem metrischen Raum bilden die offenen Bälle eine Basis der Topologie.

Definition

Es sei $(X, 𝒯)$ ein topologischer Raum. Man sagt, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.

Im $ℝ^{n}$ gibt es überabzählbar viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle $U (P, r)$ , deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien rationale Zahlen sind, siehe Aufgabe.

Definition

Eine Abbildung

φ : X ⟶ Y

zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Diese Definition stimmt wegen Fakt mit der Definition für metrische Räume überein.

Definition

Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

φ : X ⟶ Y

gibt, deren Umkehrabbildung $φ^{- 1}$ ebenfalls stetig ist.

Beispielsweise ist nach Aufgabe das offene Einheitsintervall $] 0, 1 [$ homöomorph zu $ℝ$ , aber nach Aufgabe nicht homöomorph zum abgeschlossenen Einheitsintervall $[0, 1]$ . Eine stetige bijektive Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung nennt man Homöomorphie.

Definition

Es sei $(X, 𝒯)$ ein topologischer Raum und $Y \subseteq X$ eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie $𝒯_{Y}$ auf $Y$ : Für eine Teilmenge $U \subseteq Y$ gilt $U \in 𝒯_{Y}$ genau dann, wenn es eine in $X$ offene Menge $V \in 𝒯$ derart gibt, dass $V \cap Y = U$ gilt.

Es lässt sich leicht nachweisen, dass $𝒯_{Y}$ eine Topologie ist. Sie heißt Unterraumtopologie (oder induzierte Topologie), und der topologische Raum $(Y, 𝒯_{Y})$ heißt ein Unterraum von $(X, 𝒯)$ .