Topologischer Raum/Grundbegriffe/Einführung/Textabschnitt

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Die Menge der offenen Teilmengen des , oder allgemeiner eines metrischen Raumes, bilden ein Mengensystem, dass eine Topologie im Sinne der folgenden Definition ist.


Definition  

Es sei eine Menge. Eine Familie von Teilmengen von heißt Topologie auf , wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

  1. Es ist und .
  2. Sind und , so ist auch .
  3. Ist eine Indexmenge und für alle , so ist auch .

Ein topologischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Topologie auf ist.

Die Teilmengen von , die zu gehören, heißen offene Mengen. Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist, also zur Topologie gehört.

Hausdorff space.svg


Definition  

Ein topologischer Raum heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten offene Mengen und mit , und mit gibt.


Definition  

Es sei ein topologischer Raum. Ein System von offenen Mengen in heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in als Vereinigung von offenen Mengen aus erhalten kann.

In einem metrischen Raum bilden die offenen Bälle eine Basis der Topologie.


Definition  

Es sei ein topologischer Raum. Man sagt, dass eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.

Im gibt es überabzählbar viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle , deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien rationale Zahlen sind, siehe Aufgabe.


Definition  

Eine Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Diese Definition stimmt wegen Fakt mit der Definition für metrische Räume überein.


Definition  

Zwei topologische Räume und heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

Beispielsweise ist nach Aufgabe das offene Einheitsideal homöomorph zu , aber nach Aufgabe nicht homöomorph zum abgeschlossenen Einheitsintervall . Eine stetige bijektive Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung nennt man Homöomorphie.


Definition  

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie auf : Für eine Teilmenge gilt genau dann, wenn es eine in offene Menge gibt, so dass gilt.

Es lässt sich leicht nachweisen, dass eine Topologie ist. Sie heißt Unterraumtopologie (oder induzierte Topologie), und der topologische Raum heißt ein Unterraum von .