Topologischer Raum/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Topologie/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von ${}X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen ${}A_{n}\subseteq X$ mit

$A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung ${}A_{n}\subseteq X$. Dann versteht man unter der Topologie der kompakten Konvergenz auf ${}C(X,{\mathbb {K} })$ die induzierte Topologie unter der natürlichen Abbildung

$C(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow \prod _{n\in \mathbb {N} }C(A_{n},{\mathbb {K} }),\,f\longmapsto {\left(f{|}_{A_{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

wobei die ${}C(A_{n},{\mathbb {K} })$ mit der Maximumsnorm versehen sind und der Produktraum mit der Produkttopologie versehen ist.

Nach Aufgabe liegt ein metrischer Raum vor.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei

$f_{n}\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen.

Dann konvergiert die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz, wenn sie kompakt konvergiert.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$