Topologischer Raum/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Topologie/Textabschnitt

Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung $A_n$, $n\in \mathbb{N}$, von $X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen  $A_n\subseteq X$  mit

$A_n\subseteq A_{n+1}^o\text{ und }\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=X.$

Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung  $A_n\subseteq X$.  Dann versteht man unter der Topologie der kompakten Konvergenz auf $C(X,𝕂)$ die induzierte Topologie unter der natürlichen Abbildung

$C(X,𝕂)⟶\prod _{n\in \mathbb{N}}C(A_n,𝕂),f⟼{\left(f{|}_{A_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}},$

wobei die $C(A_n,𝕂)$ mit der Maximumsnorm versehen sind und der Produktraum mit der Produkttopologie versehen ist.

Nach Aufgabe liegt ein metrischer Raum vor.

Lemma

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei

$f_n:X⟶𝕂$

eine Folge von stetigen Funktionen.

Dann konvergiert die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz, wenn sie kompakt konvergiert.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$