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Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Textabschnitt

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Die Eleganz des totalen Differentials wird in der folgenden allgemeinen Version der Kettenregel deutlich.



Satz  

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume, und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist.

Dann ist in differenzierbar mit dem totalen Differential

Beweis  

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir setzen)

und

mit linearen Abbildungen und , und mit in stetigen Funktionen und , die beide in den Wert annehmen. Damit gilt

Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für

eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für . Der Ausdruck

ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand ist in stetig und hat dort auch den Wert . Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der -Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da auf der kompakten Einheitssphäre nach Fakt beschränkt ist und da in stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber hat für den Grenzwert . Damit ist auch in stetig und hat dort den Grenzwert .


Im folgenden Beispiel verwenden wir, dass man das totale Differential unter recht schwachen Bedingungen mit der Jacobi-Matrix beschreiben kann, was wir in der nächsten Vorlesung begründen werden.


Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

aus Beispiel in einem beliebigen Punkt . Wir schreiben die Abbildung als Hintereinanderschaltung von

Die erste Funktion ist überall total differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

und die zweite Funktion ist für differenzierbar mit der Ableitung . Die Gesamtabbildung ist somit nach der Kettenregel ebenfalls total differenzierbar mit dem totalen Differential




Lemma

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume, eine offene Menge, ein Punkt, und in differenzierbare Abbildungen.

Dann ist die Produktabbildung

in differenzierbar mit

Beweis

Siehe Aufgabe.


Das folgende Beispiel illustriert, dass das totale Differential unabhängig von der Wahl einer Basis ist, die partiellen Ableitungen aber nicht.


Beispiel  

Wir betrachten die Abbildung , die durch

gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich:

Wir werden in der nächsten Vorlesung sehen, dass diese Abbildung in jedem Punkt total differenzierbar ist, und dass die Jacobi-Matrix das totale Differential beschreibt.

Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene

interessiert sind. ist also der Kern der linearen Abbildung

Als Kern ist selbst ein (zweidimensionaler) Vektorraum. Die Einschränkung von auf die Ebene ergibt also die Abbildung

Diese Abbildung kann man als die Komposition auffassen und diese ist nach der Kettenregel differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von in mit bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung

Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen.

Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine „beste Wahl“, und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus.

Eine Basis von ist beispielsweise durch und gegeben, und eine weitere durch und . Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen und somit numerische Beschreibungen der Abbildung , womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können.

In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung

und dieser Ausdruck wird durch abgebildet auf

Die partiellen Ableitungen dieser Komposition (nennen wir sie ) bezüglich dieser Basis sind gegeben durch

und

In der zweiten Basis und ist die Identifikation gegeben durch

und dieser Ausdruck wird unter abgebildet auf

Die partiellen Ableitungen der Komposition (nennen wir sie ) bezüglich dieser Basis sind

und

Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt.