Transformationsformel für Integrale/Einige Beispiele/Textabschnitt

Korollar

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\theta )\longmapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ),

die Polarkoordinatenauswertung und es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen, auf denen ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus induziert. Es sei

f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}

eine integrierbare Funktion.

Dann ist

$\int _{H}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{G}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot \vert {r}\vert \,d\lambda ^{2}(r,\theta )\,.$

Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem ${}f$ die Formel

\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.

Beweis

Dies folgt wegen

{}\det \left(D\varphi \right)_{(r,\theta )}=\det {\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r\,

direkt aus Fakt.

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Lemma

Es ist

${}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,.$

Beweis

Durch eine einfache Substitution ist die Aussage äquivalent zu

{}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.

Nennen wir dieses Integral ${}I$ . Nach Fakt ist

{}I^{2}={\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}\cdot {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\,d\lambda ^{2}\,.

Durch Einführung von Polarkoordinaten ${}x=r\cos \theta$ und ${}y=r\sin \theta$ ist dieses Integral nach Fakt und nach einer erneuten Anwendung von Fakt gleich

{}{\begin{aligned}\,&={\frac {1}{2\pi }}\int _{[0,2\pi ]\times \mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(\int _{[0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{1}(\theta )\right)}{\left(\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\right)}\\&=\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,dr\\&=-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}|_{0}^{\infty }\\&=1.\end{aligned}}

Damit ist auch ${}I=1$ .

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Beispiel

Es soll eine Straße in der Ebene der Breite ${}2a$ asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve

[0,s]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \psi (t)={\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}},

bestimmt ist. Dabei sei ${}\psi$ zweimal stetig differenzierbar und bogenparametrisiert, d.h. es sei ${}f'(t)^{2}+g'(t)^{2}=1$ , was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung

\varphi \colon [0,s]\times [-a,a]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,r)\longmapsto {\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}-g'(t)\\f'(t)\end{pmatrix}},

parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung ${}\psi$ injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.

Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist