Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Linearer Koordinatenwechsel/Textabschnitt

Entkoppelte Differentialgleichungssysteme kann man lösen, indem man die einzelnen eindimensionalen Komponenten löst. Manchmal kann eine Differentialgleichung erst durch eine lineare Transformation entkoppelt werden. Eine lineare Transformation ist einfach eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi$ zwischen zwei Vektorräumen ${}V$ und ${}W$. Zu einem Vektorfeld ${}F$ auf ${}V$ möchte man ein Vektorfeld ${}G$ auf ${}W$ definieren derart, dass sich die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichungssysteme entsprechen. Dies geschieht durch ${}G(t,y)=\varphi (F(t,\varphi ^{-1}(y)))$. Zu einem Punkt ${}y\in W$ betrachtet man also den Urbildpunkt ${}\varphi ^{-1}(y)$, wertet dort (bei unverändertem Zeitpunkt ${}t$) das Vektorfeld ${}F$ aus und transportiert das Ergebnis mittels ${}\varphi$ wieder nach ${}W$. Besonders übersichtlich wird die Situation durch das folgende kommutative Diagramm.

${\begin{matrix}I\times V&{\stackrel {F}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\operatorname {Id} \times \varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\I\times W&{\stackrel {G}{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Lemma

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

ein Isomorphismus zwischen den endlichdimensionalen reellen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ und sei

$F\colon I\times V\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),$

ein Vektorfeld auf ${}V$. Es sei ${}G$ das durch ${}G(t,y):=\varphi (F(t,\varphi ^{-1}(y)))$ definierte Vektorfeld auf ${}W$.

Dann ist

$\alpha \colon J\longrightarrow V$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$x'=F(t,x){\text{ mit }}x(t_{0})=x_{0},$

wenn ${}\varphi \circ \alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=G(t,y){\text{ mit }}y(t_{0})=\varphi (x_{0})$

ist.

Beweis

Da mit ${}\varphi$ auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ eine lineare Isomorphie ist, genügt es, die eine Richtung zu zeigen. Es sei also ${}\alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems zu ${}F$. Dann gelten unter Verwendung von Fakt für ${}\varphi \circ \alpha$ die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi \circ \alpha \right)}'(t)&=\varphi (\alpha '(t))\\&=\varphi (F(t,\alpha (t)))\\&=(\varphi \circ F)(t,\alpha (t))\\&=(\varphi \circ F\circ (\operatorname {Id} \times \varphi ^{-1}))(t,(\varphi \circ \alpha )(t))\\&=G(t,(\varphi \circ \alpha )(t)).\end{aligned}}$

Ferner gilt

${}(\varphi \circ \alpha )(t_{0})=\varphi (\alpha (t_{0}))=\varphi (x_{0})\,.$

$\Box$

Wenn das Vektorfeld ${}F$ nur auf einer offenen Menge ${}U\subseteq I\times V$ definiert ist, so ist entsprechend das Vektorfeld ${}G$ auf (der ebenfalls offenen Menge) ${}(\operatorname {Id} \times \varphi )(U)\subseteq I\times W$ definiert. Das Lemma gilt auch in dieser Situation.

Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung zum Vektorfeld

${}F(t,x,y)=\left(tx+t^{3},y^{2}\right)\,.$

Dieses System ist entkoppelt und besteht aus den beiden einzelnen Gleichungen (in jeweils einer Raumvariablen)

$x'=tx+t^{3}{\text{ und }}y'=y^{2}.$

Eine Lösung der linken Differentialgleichung ist ${}x(t)=-t^{2}-2$, eine Lösung der rechten ist ${}y(t)=-t^{-1}$. Daher ist

${\begin{pmatrix}-t^{2}-2\\-t^{-1}\end{pmatrix}}$

eine Lösung zu ${}F$. Wir betrachten nun die lineare Transformation

${}\varphi ={\begin{pmatrix}4&3\\-3&-2\end{pmatrix}}\,$

mit der inversen Matrix

${}\varphi ^{-1}={\begin{pmatrix}-2&-3\\3&4\end{pmatrix}}\,.$

Das transformierte Vektorfeld ist

${}{\begin{aligned}G(t,u,v)&=\varphi (F(t,\varphi ^{-1}(u,v)))\\&=\varphi (F(t,-2u-3v,3u+4v))\\&=\varphi (t(-2u-3v)+t^{3},(3u+4v)^{2})\\&=\varphi (t(-2u-3v)+t^{3},9u^{2}+24uv+16v^{2})\\&=(4(t(-2u-3v)+t^{3})+3(9u^{2}+24uv+16v^{2}),-3(t(-2u-3v)+t^{3})-2(9u^{2}+24uv+16v^{2}))\\&=(-8tu-12tv+4t^{3}+27u^{2}+72uv+48v^{2},6tu+9tv-3t^{3}-18u^{2}-48uv+32v^{2}).\,\end{aligned}}$

Für die zu ${}G$ gehörende Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix}}=G(t,u,v)\,$

ist gemäß Fakt

${}\varphi ({\begin{pmatrix}-t^{2}-2\\-t^{-1}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-4t^{2}-8-3t^{-1}\\3t^{2}+6+2t^{-1}\end{pmatrix}}\,$

eine Lösung.