Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonale Projektion/Einführung/Textabschnitt

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Zu einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit einem Skalarprodukt und einem Untervektorraum

gibt es ein orthogonales Komplement und der Raum hat die direkte Summenzerlegung

Die Projektion

längs heißt die orthogonale Projektion auf . Diese hängt allein von ab, da ja das orthogonale Komplement eindeutig bestimmt ist. Häufig bezeichnet man auch die Abbildung als orthogonale Projektion auf . Bei einer orthogonalen Projektion wird ein Punkt auf seinen Lotfußpunkt auf abgebildet.



Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und

ein Untervektorraum mit einer Orthonormalbasis von .

Dann ist die orthogonale Projektion auf durch

gegeben.

Beweis  

Wir ergänzen die Basis zu einer Orthonormalbasis von . Das orthogonale Komplement zu ist

Nach Fakt ist

Somit ist die Projektion auf längs .