Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonale Projektion/Einführung/Textabschnitt

Zu einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt und einem Untervektorraum

${}U\subseteq V\,$

gibt es ein orthogonales Komplement ${}U^{\perp }$ und der Raum hat die direkte Summenzerlegung

${}V=U\oplus U^{\perp }\,.$

Die Projektion

$p_{U}\colon V\longrightarrow U$

längs ${}U^{\perp }$ heißt die orthogonale Projektion auf ${}U$. Diese hängt allein von ${}U$ ab, da ja das orthogonale Komplement eindeutig bestimmt ist. Häufig bezeichnet man auch die Abbildung ${}V\rightarrow U\rightarrow V$ als orthogonale Projektion auf ${}U$. Bei einer orthogonalen Projektion wird ein Punkt auf seinen Lotfußpunkt auf ${}U$ abgebildet.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit einer Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{m}$ von ${}U$.

Dann ist die orthogonale Projektion auf ${}U$ durch

${}p_{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,$

gegeben.

Beweis

Wir ergänzen die Basis zu einer Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$. Das orthogonale Komplement zu ${}U$ ist

${}U^{\perp }=\langle u_{m+1},\ldots ,u_{n}\rangle \,.$

Nach Fakt ist

${}v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}={\left(\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=m+1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}\,.$

Somit ist ${}\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}$ die Projektion auf ${}U$ längs ${}U^{\perp }$.

$\Box$