Z-Graduierte kommutative Ringe/Veronese-Unterring/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}A$ eine ${}\mathbb {Z}$-graduierte ${}R$-Algebra und ${}s\in \mathbb {N} _{+}$. Dann nennt man

$A^{(s)}:=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }A_{sn}\subseteq A$

den ${}s$-ten Veronese-Ring von ${}A$.

Dabei handelt es sich offenbar um einen Unterring von ${}A$. Wegen ${}A_{0}\subseteq A^{(s)}$ liegt eine ${}R$-Unteralgebra vor. Die Veroneseringe kann man selbst ${}\mathbb {Z}$-graduieren, indem man entweder die Graduierung direkt übernimmt (wobei dann die Stufen, deren Index kein Vielfaches von ${}s$ ist, gleich ${}0$ sind) oder aber die Graduierung als ${}(A^{(s)})_{d}:=A_{sd}$ ansetzt.

Lemma

Es sei ${}A$ eine ${}\mathbb {Z}$-graduierte ${}R$-Algebra und ${}s\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}R$ eine ${}s$-te primitive Einheitswurzel enthalte.

Dann ist ${}A^{(s)}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(s)\right)}^{\vee }$.

Beweis

Wir betrachten ${}A$ als ${}\mathbb {Z} /(s)$-graduiert durch den kanonischen Gruppenhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(s)$. Dann ist der Veronese-Ring ${}A^{(s)}$ die ${}0$-te Stufe von ${}A$ in dieser neuen Graduierung. Daher folgt die Aussage aus Fakt.

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Lemma

Es sei ${}A$ eine ${}\mathbb {Z}$-graduierte ${}R$-Algebra, die von der ersten Stufe ${}A_{1}$ erzeugt sei.

Dann wird der Veronese-Ring ${}A^{(s)}$ von der Stufe ${}A_{s}$ erzeugt.

Beweis

Es genügt zu zeigen, dass jedes homogene Element von ${}A^{(s)}$ von ${}A_{s}$ erzeugt wird. Es sei also ${}f\in A_{sd}$. Nach Voraussetzung ist ${}f=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}r_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}$ mit Elementen ${}x_{i}\in A_{1}$ und mit ${}\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}=sd$. Diese Summe kann man in ${}d$ Teilsummen aufspalten, d.h. man kann ${}x^{\nu }=x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{d}}$ schreiben, wobei die ${}\mu _{j}$ jeweils Gradtupel vom Grad ${}s$ sind.

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Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring und ${}R^{(s)}$ der Veronese-Ring zu ${}s\in \mathbb {N} _{+}$. Nach Fakt ist ${}R^{(s)}\subseteq R$ ein direkter Summand. Bei ${}s\geq 2$ (und $n\geq 1$) gibt es keinen Ringhomomorphismus

$\psi \colon R\longrightarrow R^{(s)}$

mit ${}\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R^{(s)}}$. Dies liegt daran, dass

${}\psi (X_{1})=a_{0}+a_{s}+a_{2s}+\cdots +a_{rs}=X_{1}\,$

mit ${}a_{is}\in R_{is}$ keine Lösung besitzt.