Zahlbereich/Ideal/Einführung/Textabschnitt
In ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist
(die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt). Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir in Fakt beweisen werden.
Es sei ein Zahlbereich.
Dann enthält jedes von verschiedene Ideal eine Zahl mit .
Sei . Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung
mit ganzen Zahlen . Bei kann man die Gleichung mit kürzen, da ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ist. Es sei also in obiger Gleichung . Dann ist
und somit ist .
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und der zugehörige Zahlbereich. Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält Elemente , die eine -Basis von sind.