Zahlbereich/Ordnung/Divisoren/Einführung/Textabschnitt

Zu einem Zahlbereich ${}R$ und einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ist nach Fakt die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring und somit ergibt sich insgesamt eine Abbildung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}\setminus \{0\}{\stackrel {\text{ord}}{\longrightarrow }}\mathbb {N} .$

Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich, ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in ${}R$ und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Ordnung ${}\operatorname {ord} \,(f)$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von ${}f$ am Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ (oder an der Primstelle ${}{\mathfrak {p}}$ oder in ${}R_{\mathfrak {p}}$). Sie wird mit ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in ${}R$. Dann hat die Ordnung an ${}{\mathfrak {p}}$, also die Abbildung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f+g)\geq {\min {\left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\right)}}$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$.

Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus Fakt. Bei (3) ist zu beachten, dass für ${}f\in R$ gilt, dass ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann gilt, wenn ${}f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Letzteres bedeutet nämlich, dass ${}f=q_{1}f_{1}+\cdots +q_{n}f_{n}$ mit ${}f_{i}\in {\mathfrak {p}}$ und ${}q_{i}\in R_{\mathfrak {p}}$ ist, also ${}q_{i}={\frac {r_{i}}{s_{i}}}$ mit ${}s_{i}\notin {\mathfrak {p}}$. Mit dem Hauptnenner ${}s=s_{1}\cdots s_{n}$ ist dann ${}sf=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\in {\mathfrak {p}}$, woraus ${}f\in {\mathfrak {p}}$ folgt. Damit folgt die Behauptung aus Fakt.

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Definition

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ zuordnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet und als formale Summe

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$

geschrieben.

Die Ordnung an einem Primideal nennt man in diesem Zusammenhang auch die Verschwindungsordnung. Die Ordnung ist ja genau dann positiv, wenn ${}f$ zum Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ gehört, und dies ist genau dann der Fall, wenn unter der Abbildung

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow Q(R/{\mathfrak {p}})$

das Element ${}f$ auf ${}0$ abgebildet wird, also an dieser Stelle verschwindet. Eine höhere Verschwindungsordnung bedeutet, dass ${}f$ nicht nur einfach, sondern mit einer gewissen Vielfachheit verschwindet. Der Hauptdivisor zu ${}f$ notiert also, mit welcher Verschwindungsordnung die Funktion ${}f$ an den verschiedenen Primstellen verschwindet.

Bemerkung  

Es sei ${}R$ ein faktorieller Zahlbereich. Dann lässt sich der Hauptdivisor zu einem Ringelement ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, unmittelbar aus der Primfaktorzerlegung ablesen. Wenn

${}f=up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$

mit einer Einheit ${}u$ und paarweise nicht assoziierten Primelementen ${}p_{i}$ ist, so ist der Hauptdivisor zu ${}f$ gleich

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{k}r_{i}(p_{i})\,.$

Dies beruht einfach darauf, dass die Ordnung von ${}f$ in der Lokalisierung ${}R_{(p_{i})}$ gleich ${}r_{i}$ ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement ${}\neq 0$ den Hauptdivisor zuordnet, also

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Hauptdivisoren} ,\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {div} {\left(fg\right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$

2. ${}\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}\,.$

Hierbei sind die Operationen rechts punktweise definiert.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt durch Betrachtung an den einzelnen Primidealen.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$.

Dann ist nur für endlich viele Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ von ${}0$ verschieden.

Das heißt, dass der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} (f)=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}$ eine endliche Summe ist.

Beweis

Sei ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in ${}R$ und ${}f\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist ${}f$ in ${}R_{\mathfrak {p}}$ eine Einheit. Damit ist ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)=0$. Da der Restklassenring ${}R/(f)$ nach Fakt endlich ist, folgt sofort, dass ${}f$ nur in endlich vielen Primidealen enthalten ist, und nur für diese ist ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)>0$.

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