Zahlbereich/Verzweigung/Ordnung/Faserring/Textabschnitt

Satz

Es sei  ${}R\subseteq S$  eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$. Es sei

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$

die Idealzerlegung des Erweiterungsideales ${}{\mathfrak {p}}S$ im Sinne von Fakt.

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}S$ genau dann verzweigt, wenn der Faserring zu ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$ nicht reduziert ist.

Beweis

Nach Fakt liegt in ${}S$ eine Produktzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$

vor und nach Fakt ist

${}S/{\mathfrak {p}}S\cong S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dieser Restklassenring, der der Faserring zu ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten ${}r_{i}$ gleich ${}1$ sind. Dies charakterisiert nach Fakt auch die Unverzweigtheit.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl und  ${}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p}-p\right)}$.  Für eine Primzahl  ${}q\neq p$  ist der Faserring über ${}(q)$ gleich ${}\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(X^{p}-p\right)}$. Da ${}p$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(q)$ ist, sind ${}X^{p}-p$ und die Ableitung ${}pX^{p-1}$ teilerfremd in ${}\mathbb {Z} /(q)[X]$ und daher ist nach Fakt ${}\mathbb {Z} _{p}[X]/{\left(X^{p}-p\right)}$ normal und die Verzweigungsordnung von

$\mathbb {Z} _{(q)}\longrightarrow R_{\mathfrak {q}},$

wobei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal oberhalb von ${}(q)$ bezeichnet, ist gleich ${}1$. Für  ${}q=p$  ist das einzige Primideal oberhalb von ${}(p)$ das Hauptideal ${}(X)$, die Verzweigungsordnung in ${}p$ ist gleich ${}p$. Deshalb ist insgesamt ${}R$ der Zahlbereich zu  ${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{p}-p\right)}$,  und er ist nur im Punkt ${}(p)$ verzweigt.

Beispiel

Es seien ${}p,q$ verschiedene Primzahlen und  ${}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p}-q\right)}$.  Für eine Primzahl  ${}r\neq p,q$  ist der Faserring über ${}(r)$ gleich ${}\mathbb {Z} /(r)[X]/{\left(X^{p}-q\right)}$. Da ${}p$ und ${}q$ Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(r)$ sind, gilt

${}{\left(X^{p}-q,pX^{p-1}\right)}={\left(X^{p}-q,X^{p-1}\right)}={\left(q,X^{p-1}\right)}=(q)=1\,$

in ${}\mathbb {Z} /(r)[X]$, d.h. ${}X^{p}-q$ und die Ableitung ${}pX^{p-1}$ sind teilerfremd in ${}\mathbb {Z} /(r)[X]$ und daher ist nach Fakt ${}\mathbb {Z} _{(r)}[X]/{\left(X^{p}-q\right)}$ normal und die Verzweigungsordnung von

$\mathbb {Z} _{(r)}\longrightarrow R_{\mathfrak {r}},$

wobei ${}{\mathfrak {r}}$ ein Primideal oberhalb von ${}(r)$ bezeichnet, ist gleich ${}1$.

Für  ${}r=q$  ist das einzige Primideal oberhalb von ${}(q)$ das Hauptideal ${}(X)$, die Verzweigungsordnung in ${}q$ ist gleich ${}p$.

Für  ${}r=p$  ist der Faserring gleich

${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{p}-q\right)}=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X-q\right)}^{p}\,.$

Das einzige Primideal oberhalb von ${}(p)$ ist also ${}{\left(X-q,p\right)}$, was im Allgemeinen kein Hauptideal ist. Der Ring ${}R$ ist im Allgemeinen nicht der ganze Abschluss, wobei die Singularität oberhalb von ${}(p)$ liegt.