Zariski-Filter/Irreduzibel/Korrespondenz/Textabschnitt

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Definition  

Ein topologischer Filter heißt irreduzibel, wenn und folgendes gilt: Sind zwei offene Mengen mit , so ist oder .

Für Zariski-Filter (also topologische Filter in der Zariski-Topologie) gilt folgender Zusammenhang.



Satz  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ mit -Spektrum .

Dann entsprechen sich folgende Objekte.

  1. Primideale in .
  2. Irreduzible abgeschlossene Teilmengen von .
  3. Irreduzible Filter in .

Dabei entspricht der irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge der Filter

Der Halm der Strukturgarbe an diesem Filter ist die Lokalisierung , wobei das zugehörige Primideal bezeichnet.

Beweis  

Die Korrespondenz zwischen Primidealen und abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen (zu einem Primideal gehört die irreduzible abgeschlossene Teilmenge ) ist bekannt (siehe Fakt und Fakt). Die angegebene Konstruktion zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge liefert in der Tat einen irreduziblen Filter. Dabei ist die Irreduzibilität trivial, zu zeigen ist lediglich die Durchschnittseigenschaft eines Filters. Seien , so dass also die Durchschnitte und nicht leer sind. Dann ist aber wegen der Irreduzibilität von auch der Durchschnitt

nicht leer und daher ist .

Sei nun irgendein irreduzibler topologischer Filter. Wir behaupten, dass das Komplement von

ein Primideal ist. Es ist sofort ein saturiertes multiplikatives System. Es bleibt zu zeigen, dass das Komplement additiv abgeschlossen ist. Seien dazu mit , also . Dann gehört erst recht

zu und wegen der Irreduzibilität von ist oder , woraus sich oder ergibt.

Diese drei Zuordnungen hintereinandergenommen führen dabei immer wieder zum Ausgangsobjekt zurück. Dazu muss man lediglich beachten, dass ein irreduzibler Zariski-Filter durch offene Mengen der Form erzeugt wird, siehe Aufgabe. Der Zusatz ist ein Spezialfall von Aufgabe.


Den zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge gehörenden Filter nennen wir auch den zugehörigen generischen Filter zu und den Halm davon den generischen Halm zu . Ein Spezialfall der Korrespondenz von Fakt ist die Beziehung zwischen minimalen Primidealen, irreduziblen Komponenten und Ultrafiltern. Auf der anderen Seite hat man die Korrespondenz zwischen maximalen Idealen, Punkten und Umgebungsfiltern.