Zariski-Filter/Irreduzibel/Korrespondenz/Textabschnitt

Definition

Ein topologischer Filter ${}F$ heißt irreduzibel, wenn ${}\emptyset \not \in F$ und folgendes gilt: Sind ${}U,V$ zwei offene Mengen mit ${}U\cup V\in F$, so ist ${}U\in F$ oder ${}V\in F$.

Für Zariski-Filter (also topologische Filter in der Zariski-Topologie) gilt folgender Zusammenhang.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ mit ${}K$-Spektrum ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.

Dann entsprechen sich folgende Objekte.

1. Primideale in ${}R$.
2. Irreduzible abgeschlossene Teilmengen von ${}X$.
3. Irreduzible Filter in ${}X$.

Dabei entspricht der irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge ${}Y\subseteq X$ der Filter

${}F(Y)={\left\{U\subseteq X\mid U\cap Y\neq \emptyset \right\}}\,.$

Der Halm der Strukturgarbe an diesem Filter ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$, wobei ${}{\mathfrak {p}}$ das zugehörige Primideal bezeichnet.

Beweis

Die Korrespondenz zwischen Primidealen und abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen (zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ gehört die irreduzible abgeschlossene Teilmenge $V({\mathfrak {p}})$) ist bekannt (siehe Fakt und Fakt). Die angegebene Konstruktion zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge ${}Y$ liefert in der Tat einen irreduziblen Filter. Dabei ist die Irreduzibilität trivial, zu zeigen ist lediglich die Durchschnittseigenschaft eines Filters. Es seien ${}U,V\in F=F(Y)$, so dass also die Durchschnitte ${}Y\cap U$ und ${}Y\cap V$ nicht leer sind. Dann ist aber wegen der Irreduzibilität von ${}Y$ auch der Durchschnitt

${}(Y\cap U)\cap (Y\cap V)=Y\cap (U\cap V)\,$

nicht leer und daher ist ${}U\cap V\in F$.

Es sei nun ${}F$ irgendein irreduzibler topologischer Filter. Wir behaupten, dass das Komplement von

${}S={\left\{f\in R\mid D(f)\in F\right\}}\,$

ein Primideal ist. Es ist sofort ein saturiertes multiplikatives System. Es bleibt zu zeigen, dass das Komplement additiv abgeschlossen ist. Es seien dazu ${}h,g\in R$ mit ${}g+h\in S$, also ${}D(g+h)\in F$. Dann gehört erst recht

${}D(g)\cup D(h)=D(g,h)\supseteq D(g+h)\,$

zu ${}F$ und wegen der Irreduzibilität von ${}F$ ist ${}D(g)\in F$ oder ${}D(h)\in F$, woraus sich ${}g\in S$ oder ${}h\in S$ ergibt.

Diese drei Zuordnungen hintereinandergenommen führen dabei immer wieder zum Ausgangsobjekt zurück. Dazu muss man lediglich beachten, dass ein irreduzibler Zariski-Filter durch offene Mengen der Form ${}D(f)$ erzeugt wird, siehe Aufgabe. Der Zusatz ist ein Spezialfall von Aufgabe.

$\Box$

Den zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge gehörenden Filter nennen wir auch den zugehörigen generischen Filter zu ${}Y$ und den Halm davon den generischen Halm zu ${}Y$. Ein Spezialfall der Korrespondenz von Fakt ist die Beziehung zwischen minimalen Primidealen, irreduziblen Komponenten und Ultrafiltern. Auf der anderen Seite hat man die Korrespondenz zwischen maximalen Idealen, Punkten und Umgebungsfiltern.