Überlagerung/Riemannsche Fläche/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es seien und topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung und einem stetigen Weg

nennt man einen stetigen Weg

mit

eine Liftung von .




Definition  

Eine stetige Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung derart gibt, dass offen in ist und dass die Einschränkung

ein Homöomorphismus ist.






Definition  

Eine Überlagerung von ist eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass folgende Sachen existieren:

  1. Eine offene Überdeckung von .
  2. Eine Familie diskreter topologischer Räume .
  3. Eine Familie topologischer Äquivalenzen mit der Eigenschaft, dass .

Eine Überdeckung dieser Art heißt Elementar-Überdeckung von .


Beispiel  

Nun folgt eine Liste von Überlagerungen.

  1. Die Exponentialabbildung ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung funktioniert . Sei (versehen mit der diskreten Topologie) und definiere
    Dann ist eine topologische Äquivalenz. Die Abbildung sieht so ähnlich aus.
  2. Die kanonische Abbildung ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung kann man die Standard-Überdeckung verwenden.
  3. Die Abbildung ist eine Überlagerung .
  4. Jede topologische Äquivalenz ist eine Überlagerung.
  5. Die Abbildung des leeren topologischen Raumes in irgendeinen topologischen Raum ist eine Überlagerung.
  6. Die Einschränkung der Exponentialabbildung auf ist keine Überlagerung von .
  7. Die Hopf-Abbildung ist keine Überlagerung.

Wie üblich kann man aus alten Überlagerungen neue Überlagerungen basteln. Hier ist nur eine mögliche Methode.



Lemma  

Seien Überlagerungen. Dann ist auch die Abbildung

eine Überlagerung. Ist so ist auch die Abbildung

eine Überlagerung.

Beweis  

Sei eine Elementar-Überdeckung für , mit topologischen Äquivalenzen

und analog

eine Elementar-Überdeckung für , mit topologischen Äquivalenzen

Dann ist
eine Elementar-Überdeckung für , denn die Abbildungen

sind nach wie vor topologische Äquivalenzen. Also ist eine Überlagerung.

Sei nun . Die offene Überdeckung

ist eine Elementar-Überdeckung. Denn es ist

Die Einschränkungen von und auf definieren eine topologische Äquivalenz

wobei die durch symbolisierte topologische Äquivalenz leicht einzusehen ist. Es folgt, dass eine Überlagerung ist.


Um zu zeigen, dass eine stetige Abbildung eine Überlagerung ist, muss man eine Elementar-Überdeckung finden. Dabei ist die Identifikation der diskreten topologischen Räume recht einfach. Denn eine gegebene topologische Äquivalenz

schränkt ein auf eine topologische Äquivalenz

Das Urbild eines Punktes nennt man oft Faser von bei .



Lemma  

Sei eine Überlagerung und zusammenhängend. Dann ist für alle .

Beweis  

Sei zunächst eine beliebige Überlagerung und eine Elementar-Überdeckung. Das obige Argument zeigt, dass für schon
gilt. Sei nun zusammenhängend, und
Dann ist offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung. Aus dem gleichen Grund ist aber auch offen. Da zusammenhängend ist, ist .


Also hängt die Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab.



Lemma  

Sei eine Überlagerung.

Dann ist offen für alle offen.

Beweis  

Sei offen. Um zu zeigen, dass offen ist, sei . Gesucht ist eine offene Menge mit . Sei hierzu eine offene Menge aus einer Elementar-Überdeckung von , sowie eine topologische Äquivalenz. Dann ist offen in . Weil

eine topologische Äquivalenz ist, ist auch offen in . Nun ist offen, also ist auch offen in . Aus folgt die Behauptung.



Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Homotopien entlang der Überlagerung hochgehoben oder geliftet werden können. Diesen Sachverhalt haben wir schon bei der Berechnung der Homotopieklassen von Schlingen in bzw. bei der Bestimmung von zitiert. Die in diesem Fall verwendete Überlagerung ist die Exponentialabbildung



Satz  

Sei eine Überlagerung, eine Homotopie und eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass gilt für alle . Dann gibt es genau eine

Homotopie
mit der Eigenschaft, dass

und für alle .

Beweis  


Insbesondere kann man Wege liften.



Folgerung  

Sei eine Überlagerung, ein Weg und ein Punkt mit . Dann gibt es genau einen

Weg
mit der Eigenschaft, dass

und .

Beweis  


Man kann auch relative Homotopien liften.



Folgerung  

Sei eine Überlagerung, eine Homotopie relativ und ein Weg mit der Eigenschaft, dass gilt für alle . Dann gibt es genau eine

relative Homotopie
mit der Eigenschaft, dass

und für alle .

Beweis  




Satz  

Sei ein lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum.

  1. Jede Weg-Zusammenhangskomponente von ist offen in .
  2. Als topologischer Raum ist die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten.
  3. Die Weg-Zusammenhangskomponenten von stimmen mit den Zusammenhangskomponenten überein.

Beweis  

Sei die Weg-Zusammenhangskomponente von . Nach Voraussetzung an existiert eine weg-zusammenhängende Umgebung . Insbesondere ist . Somit ist offen nach Fakt. Dies zeigt die erste Behauptung. Als Menge ist sicherlich die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten. Um dies auch für den topologischen Raum zu erhalten, ist zu zeigen, dass jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen ist. Nun ist das Komplement einer Weg-Zusammenhangskomponente die Vereinigung aller anderen Weg-Zusammenhangskomponenten, die nach der ersten Behauptung offen ist. Also ist jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen, was die zweite Behauptung beweist. Die dritte Behauptung folgt sofort.




Satz  

Sei eine Überlagerung und lokal weg-zusammenhängend.

Dann ist auch lokal weg-zusammenhängend. Ist eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten von , so ist die Einschränkung auch eine Überlagerung.

Beweis  

Sei eine Umgebung. Sei weiter eine offene Menge einer Elementar-Überdeckung, sowie eine topologische Äquivalenz. Dann ist auch eine Umgebung. Aus Fakt folgt, dass ebenfalls eine Umgebung ist. Sei nun eine weg-zusammenhängende Umgebung. Es ist , also ist die gesuchte weg-zusammenhängende Umgebung von .




Satz (Liftungssatz )  

Sei eine Überlagerung und ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum. Sei weiter und eine stetige Abbildung punktierter topologischer Räume.

Es gibt eine stetige Abbildung punktierter topologischer Räume mit genau dann, wenn

gilt.

Die stetige Abbildung ist durch die Bedingungen und eindeutig bestimmt, wenn sie existiert.

Beweis  

Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Sei eine stetige Abbildung mit . Dann ist

Um die Abbildung aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte Fakt von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei . Da zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist nach Fakt weg-zusammenhängend. Sei also ein Weg von nach . Nach Fakt gibt es genau einen Weg mit den Eigenschaften, dass und gilt. Setze nun . Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun zwei Wege in von nach . Dann ist eine Schleife in am Basispunkt . Insbesondere ist

nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife mit der Eigenschaft, dass

Sei eine Homotopie von zu relativ zu . Wieder nach Fakt gibt es genau eine Homotopie mit der Eigenschaft, dass und . Aus und

folgt
denn ist zusammenhängend. Somit ist auch eine Homotopie relativ . Insbesondere ist die Abbildung eine Schleife an . Sie ist aber nach Konstruktion ein (und aufgrund der durch den fixierten Anfangspunkt erzwungenen Eindeutigkeit der) Lift der Schleife . Betrachte nun den Lift der Schleife

Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife zum Anfangspunkt , und das haben wir mit der Einschränkung von auf bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an , also ist dies . Offensichtlich ist homotop relativ zu , was nach Fakt auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere

was zeigt, dass wohldefiniert ist.

Nun zur Stetigkeit von . Sei und eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung mit . Diese konstruiert man wie folgt. Sei eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit . Sei weiter eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von auf ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist

eine Umgebung von . Dann ist aber auch eine Umgebung von . Da stetig ist, gibt es eine Umgebung mit . Nun ist nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend. Demnach gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung . Die Behauptung ist nun, dass gilt. Denn sei . Zur Konstruktion von benötigen wir einen Weg von nach . Sei ein Weg von nach und sei ein Weg von nach , der ganz in verläuft. Dann ist ein Weg von nach . Der Endpunkt ist also gegeben durch den Endpunkt des Liftes zum Anfangspunkt . Da
eine topologische Äquivalenz ist und , ist der Lift zum Anfangspunkt ein Weg mit Bild in . Insbesondere ist der Endpunkt , was zu zeigen war.


Tatsächlich existiert die Abbildung bereits, wenn weg-zusammenhängend ist. Aber für die Stetigkeit von reicht dies nicht immer aus, wie folgendes Beispiel zeigt.



Beispiel  

Sei der Warschauer Kreis, also die Vereinigung des Abschlusses des Graphen von und einem Kreisbogen von nach , der nicht trifft. Der topologische Raum ist weg-zusammenhängend, aber nicht lokal weg-zusammenhängend. Des weiteren ist ja das Standard-Beispiel eines zusammenhängenden Raumes, der nicht weg-zusammenhängend ist. Den Beweis dieser Tatsache kann man verwenden, um zu zeigen, dass die triviale Gruppe ist. Sei und eine Abbildung, die auf abbildet und eine topologische Äquivalenz induziert. Der Beweis des Liftungssatz liefert nun eine Abbildung
mit den Eigenschaften

Die Abbildung ist aber nicht stetig.


Das langfristige Ziel ist es, alle Überlagerungen eines gegebenen topologischen Raumes effizient zu beschreiben. Dies geschieht mit Hilfe von algebraischen Daten, die mit der Fundamentalgruppe des jeweiligen Raumes in Verbindung stehen. Tatsächlich kann man unter bestimmten Voraussetzungen jede zusammenhängende Überlagerung aus einer bestimmten, der sogenannten universellen Überlagerung, konstruieren.


Definition  

Ein topologischer Raum heißt einfach-zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten genau einen Weg in von nach bis auf Homotopie relativ gibt.

In anderen Worten: Ein topologischer Raum ist einfach-zusammenhängend, wenn und jeweils nur ein Element besitzen.


Beispiel  

  1. Jeder zusammenziehbare Raum ist einfach-zusammenhängend.
  2. Die ist einfach-zusammenhängend genau dann, wenn gilt.


Definition  

Sei ein topologischer Raum. Eine Überlagerung heißt universelle Überlagerung, wenn der topologische Raum einfach-zusammenhängend ist.



Beispiel  

  1. Die Exponentialabbildung ist eine universelle Überlagerung.
  2. Die kanonische Projektion ist eine universelle Überlagerung genau dann, wenn gilt.

Die Existenz einer universellen Überlagerung impliziert eine bestimmte topologische Bedingung an den überlagerten Raum, die zunächst etwas gewöhnungsbedürftig ist (und heißt).



Lemma  

Sei lokal wegzusammenhängend und eine universelle Überlagerung. Dann gibt es für jedes eine offene Menge mit der Eigenschaft, dass der durch die Inklusion induzierte Gruppenhomomorphismus trivial ist.

Beweis  

Sei eine universelle Überlagerung, wobei lokal wegzusammenhängend ist. Ist , dann gibt es nach Voraussetzung eine offene Menge und eine topologische Äquivalenz über , wobei ein diskreter topologischer Raum ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann als wegzusammenhängend vorausgesetzt werden. Sei nun eine Wegzusammenhangskomponente von , dann ist die Einschränkung von eine topologische Äquivalenz. Sei , dann ist die durch die Inklusion induzierte Abbildung trivial. Denn diese stimmt überein mit der Komposition

und die Fundamentalgruppe ist ja trivial.



Definition  

Ein topologischer Raum ist semilokal einfach-zusammenhängend, wenn er lokal wegzusammenhängend ist und jeder Punkt eine wegzusammenhängende Umgebung besitzt, so dass der durch die Inklusion induzierte Gruppenhomomorphismus

trivial ist. Eine solche Umgebung heißt Spezialumgebung.




Satz  

Jeder zusammenhängende und semilokal einfach-zusammenhängende topologische Raum besitzt eine universelle Überlagerung.

Beweis  

Gegeben eine universelle Überlagerung , so kann man sowohl die unterliegende Menge als auch die Topologie von mit Hilfe von Daten ausdrücken, die nur mit zu tun haben. Dies führt zu folgender Definition. Sei ein topologischer Raum und . Dann ist

die Menge der basierten Wege in . Die Auswertung eines basierten Weges an liefert die Endpunkt-Abbildung in die unterliegende Menge von . Auf ist die Äquivalenzrelation Homotopie relativ definiert. Sei die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Ein Element in ist also eine relative Homotopieklasse von basierten Wegen in . Sind , so ist , da ja die Homotopien den Endpunkt festhalten. Somit definiert die Endpunkt-Abbildung eine Abbildung

Dies wird die universelle Überlagerung sein. Um dies zu zeigen, wird zunächst mit einer Topologie versehen.

Sei nun semi-lokal einfach-zusammenhängend, also insbesondere lokal wegzusammenhängend. Ist , so besitzt eine Spezialumgebung , die nach obigem Lemma offen gewählt werden kann (was wir jetzt auch tun). Sei nun

die Menge der relativen Homotopieklassen der basierten Wege, die sich darstellen lassen als Weg gefolgt von einem Weg , der ganz in verläuft. Wir definieren nun: Eine Teilmenge ist offen, wenn zu jedem eine offene Spezialumgebung existiert, so dass gilt. Offensichtlich sind und offen. Sind offen, so ist auch offen. Denn zu gibt es offene Spezialumgebungen

Sei die Wegzusammenhangskomponente der offenen Menge , die enthält. Weil lokal wegzusammenhängend ist, ist offen in nach dieser Aussage. Also ist eine offene Spezialumgebung von , denn der induzierte Gruppenhomomorphismus faktorisiert als

und ist somit trivial. Des weiteren gilt offensichtlich

was die Offenheit von liefert. Dass eine Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, ist offensichtlich. Somit ist ein topologischer Raum.

Um zu zeigen, dass eine Überlagerung ist, sei wieder eine offene Spezialumgebung. Es ist
Denn zu gibt es genau eine relative Homotopieklasse eines Weges von nach mit Bild in . Somit liegt genau in der durch indizierten Menge . Daraus folgert man zwei Sachen. Zum einen ist als Vereinigung offener Mengen wieder offen, was die Stetigkeit von liefert. Denn eine beliebige Umgebung eines Punktes enthält immer auch eine offene Spezialumgebung. Zum anderen ist die Vereinigung
disjunkt, wegen der oben erwähnten Eindeutigkeit. Sei nun die Einschränkung von und , dann gibt es genau eine relative Homotopieklasse eines Weges von nach mit Bild in . Dies liefert eine Umkehrabbildung
Um die Stetigkeit von zu zeigen, reicht es, eine Menge der Form zu betrachten, wobei und eine offene Spezialumgebung ist. Dann ist
offen in . Somit ist eine topologische Äquivalenz. Anders ausgedrückt ist topologisch äquivalent zu dem Produkt , was zeigt, dass eine Überlagerung ist.

Es bleibt zu zeigen, dass wegzusammenhängend und einfach-zusammenhängend ist. Sei die Homotopieklasse des konstanten Weges an und . Sei ein Repräsentant von und für alle der Weg

gegeben. Dann ist
eine Abbildung mit und . Sie ist stetig. Denn gegeben eine offene Spezialumgebung , so gibt es aufgrund der Stetigkeit von ein mit
. Insbesondere ist für jedes also , denn
Demnach ist ein Weg von nach , und ist wegzusammenhängend. Der einfache Zusammenhang folgt, sobald trivial ist. Sei also eine Schleife an und die induzierte Schleife an . Nun ist eine Überlagerung, also ist nach diesem Satz bereits nullhomotop, wenn es ist. Sei nun in obiger Notation, also . Dies ist ein Weg von zu mit der Eigenschaft, dass gilt. Die Eindeutigkeit aus dem Homotopie-Liftungssatz liefert nun , also insbesondere
was den Beweis beendet.



Definition  

Seien Überlagerungen von . Eine Abbildung von Überlagerungen von nach ist eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass gilt. Ist zudem eine topologische Äquivalenz, so ist ein Isomorphismus von Überlagerungen. Die Menge der Abbildungen von Überlagerungen von nach wird mit bezeichnet. Die Menge der Isomorphismen von Überlagerungen von nach heißt . Diese Menge ist eine Gruppe unter Komposition, die sogenannte Decktransformationengruppe von .

Sei ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, und die Fundamentalgruppe von . Ist eine Überlagerung, so operiert die Gruppe auf der Faser in folgender Weise. Sei und . Nach dem Homotopie-Liftungssatz gibt es einen Weg von zu mit , dessen Endpunkt nicht von der Wahl abhängt. Setze . Dies liefert eine Abbildung



Satz  

Sei ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, und die Fundamentalgruppe von . Sei weiter eine Überlagerung. Es gilt:

  1. Die Abbildung ist eine rechte -Operation.
  2. Die Menge der Bahnen ist isomorph zu .
  3. Für jedes stimmt die Standgruppe überein mit dem Bild .
  4. Ist eine Abbildung von Überlagerungen von , so ist die Einschränkung
    eine Abbildung von rechten -Mengen.

Beweis  

  1. Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen und für alle und gelten. Sei der Lift von zum Anfangspunkt und der Lift von zum Anfangspunkt . Dann ist der Lift von zum Anfangspunkt . Die Gleichung
    liefert dann die Identität . Der Lift der konstanten Schleife zum Anfangspunkt ist die konstante Schleife , was die Identität liefert.
  2. Sind zwei Punkte in derselben Bahn, also für ein , so gibt es insbesondere einen Weg in von nach . Die Komposition der Inklusion und der kanonische Projektion induziert also eine Abbildung

    Die Abbildung ist injektiv. Denn wenn und ein Weg in von nach ist, so ist eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass . Die Abbildung ist surjektiv. Denn wenn beliebig ist, so gibt es in einen Weg von nach -- schließlich ist weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt ist ein Weg zu einem Element in .

  3. Sei nun und derart, dass . Dann ist aber der Lift von zum Anfangspunkt eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass

    Es folgt, dass . Ist hingegen eine Schleife an , so ist , was die Inklusion zeigt.

  4. Sei eine Abbildung von Überlagerungen. Ist , so gilt ja wegen auch . Demnach schränkt auf eine Abbildung
    ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten -Mengen ist, sei . Ist der Lift von zum Anfangspunkt , so ist der Lift von zum Anfangspunkt . Denn . Somit ist

    was zeigt, dass eine Abbildung von rechten -Mengen ist.




Satz  

Sei ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum, und Überlagerungen von . Die Abbildung

ist bijektiv.

Beweis  

Sei eine Abbildung von rechten -Mengen. Um diese zu einer Abbildung von Überlagerungen von zu erweitern, sei eine Wegzusammenhangskomponente von . Da nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend ist, ist es auch nach dieser Aussage. Insbesondere ist der topologische Raum die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten nach diesem Satz. Zudem ist wieder eine Überlagerung. Es reicht also, eine Abbildung von Überlagerungen anzugeben, die auf mit übereinstimmt. Dies geschieht mit Hilfe des Liftungssatzes.

Sei und . Der Liftungssatz liefert die Existenz (genau) einer stetigen Abbildung mit genau dann, wenn gilt. Nach obigem Satz ist . Weil eine Abbildung von rechten -Mengen ist, gilt . Wieder nach obigem Satz ist . Also ist der Liftungssatz anwendbar, und es existiert eine stetige Abbildung mit , die auf mit übereinstimmt. Nun ist jedes Element in nach obigem Satz von der Form für ein . Dies impliziert, dass auf ganz mit übereinstimmt. Somit ist gezeigt, dass die Abbildung

surjektiv ist.

Das obige Argument zeigt, dass die Abbildung von Überlagerungen von schon durch die Angabe des Bildes eines Punktes eindeutig bestimmt ist. Dies zeigt die Injektivität der Abbildung zusammen mit der universellen Eigenschaft der disjunkten Vereinigung.




Satz  

Sei ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum. Die Gruppe der Decktransformationen einer universellen Überlagerung von ist isomorph zur Fundamentalgruppe von .

Beweis  

Sei eine universelle Überlagerung, wobei zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist. Sei weiter und . Nach obigem Satz

ist die Decktransformationengruppe von isomorph zur Automorphismengruppe der -Menge . Es reicht also zu zeigen, dass die letztere Gruppe, die mal mit bezeichnet werde, isomorph zu ist. Um einen Isomorphismus anzugeben, wähle . Sei weiter die rechte -Menge mit unterliegender Menge und Operation
wobei die Multiplikation auf ist. Die Abbildung
ist eine Abbildung von -Mengen, denn
Des weiteren ist bijektiv: injektiv, weil die Standgruppe nach obigem Satz

trivial ist, und surjektiv, weil nach obigem Satz

trivial ist. Es folgt, dass
Sei nun
dann ist ein Gruppenhomomorphismus, weil die Multiplikation in der Gruppe assoziativ ist. Des weiteren ist injektiv, denn die Abbildung ist die Identität genau dann, wenn gilt. Sei ein -Automorphismus von . Dann ist

was die Surjektivität liefert.


Einen anderen Beweis des Satzes erhält man durch die Inspektion der Konstruktion einer universellen Überlagerung. Ist der Basispunkt eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes, so ist die unterliegende Menge von gegeben durch die relativen Homotopieklassen von Wegen in , die bei beginnen. Offensichtlich ist die Faser der Überlagerung bei identisch mit der unterliegenden Menge der Fundamentalgruppe . Man beachte, dass diese Faser die Homotopieklasse des konstanten Weges als ausgezeichneten Punkt besitzt.

Den Satz kann man dazu benutzen, Fundamentalgruppen topologischer Räume zu bestimmen.


Beispiel  

Sei die kanonische Überlagerung und . Dann ist einfach-zusammenhängend nach diesem Beispiel. Da semi-lokal einfach-zusammenhängend und zusammenhängend ist, ist die Decktransformationengruppe von isomorph zur Fundamentalgruppe von . Man sieht relativ leicht, dass es genau zwei Decktransformationen gibt: die Identität und die Abbildung . Also ist die Fundamentalgruppe von die Gruppe mit zwei Elementen.


Sei nun eine Untergruppe der Fundamentalgruppe eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes. Diese Gruppe operiert vermöge der obigen Isomorphie auf dem Totalraum einer universellen Überlagerung . Sei der Raum der -Bahnen, versehen mit der Quotientenraumtopologie. Seien weiter die kanonische und die durch induzierte Abbildung. Dann gilt folgender Sachverhalt.



Satz  

Sei ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, und eine Untergruppe. Die Abbildung ist eine Überlagerung, und es gilt für jedes .

Beweis  

Sei eine offene Menge aus einer Spezialüberdeckung. Dann gibt es eine topologische Äquivalenz . Die Gruppe operiert auf durch Decktransformationen und auf durch Multiplikation auf dem zweiten Faktor. Die topologische Äquivalenz ist kompatibel mit diesen Operationen, also eine topologische Äquivalenz von -Räumen. Es folgt, dass
was im Wesentlichen zeigt, dass eine Überlagerung von ist. Die zweite Aussage folgt aus obigem Satz.


Zusammenfassend gilt also folgendes: Ist ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, so gibt es zu jeder Untergruppe eine zusammenhängende Überlagerung mit .