Überlagerung/Riemannsche Fläche/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung ${}\pi \colon Y\rightarrow X$ und einem stetigen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

nennt man einen stetigen Weg

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$

mit

${}\gamma =\pi \circ {\tilde {\gamma }}\,$

eine Liftung von ${}\gamma$.

Definition

Eine stetige Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U$ derart gibt, dass ${}\varphi (U)$ offen in ${}Y$ ist und dass die Einschränkung

$U\longrightarrow \varphi (U)$

ein Homöomorphismus ist.

Definition

Eine Überlagerung von ${}X$ ist eine stetige Abbildung ${}p\colon E\to X$ mit der Eigenschaft, dass folgende Sachen existieren:

1. Eine offene Überdeckung ${}\{U_{\alpha }\subseteq X\}_{\alpha \in A}$ von ${}X$.
2. Eine Familie diskreter topologischer Räume ${}\{F_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$.
3. Eine Familie topologischer Äquivalenzen ${}\phi _{\alpha }\colon p^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F_{\alpha }$ mit der Eigenschaft, dass ${}\phi _{\alpha }(x)={\bigl (}\phi _{\alpha }(x)_{1},\phi _{\alpha }(x)_{2}{\bigr )}={\bigl (}p(x),\phi _{\alpha }(x)_{2}{\bigr )}\,\forall \,x\in U_{\alpha },\,\alpha \in A$.

Eine Überdeckung dieser Art heißt Elementar-Überdeckung von ${}p$.

Beispiel

Nun folgt eine Liste von Überlagerungen.

1. Die Exponentialabbildung ${}\exp \colon \mathbb {R} \to S^{1},\,x\mapsto e^{2\pi ix}$ ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung funktioniert ${}{\bigl \lbrace }S^{1}\smallsetminus \{1\},S^{1}\smallsetminus \{-1\}{\bigr \rbrace }$. Sei ${}F_{1}=\mathbb {Z} =F_{-1}$ (versehen mit der diskreten Topologie) und definiere

   ${}\phi _{1}\colon \exp ^{-1}(S^{1}\smallsetminus \{1\})=\mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} \to (S^{1}\smallsetminus \{1\})\times \mathbb {Z} \ \ x\mapsto {\bigl (}\exp(x),\max\{a\in \mathbb {Z} \colon a<x\})\,.$

   Dann ist ${}\phi _{1}$ eine topologische Äquivalenz. Die Abbildung ${}\phi _{-1}\colon \exp ^{-1}(S^{1}\smallsetminus \{-1\})\to (S^{1}\smallsetminus \{-1\})\times \mathbb {Z}$ sieht so ähnlich aus.
2. Die kanonische Abbildung ${}p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung kann man die Standard-Überdeckung verwenden.
3. Die Abbildung ${}z\mapsto z^{n}$ ist eine Überlagerung ${}S^{1}\to S^{1}$.
4. Jede topologische Äquivalenz ist eine Überlagerung.
5. Die Abbildung des leeren topologischen Raumes in irgendeinen topologischen Raum ist eine Überlagerung.
6. Die Einschränkung der Exponentialabbildung auf ${}(-1,1)$ ist keine Überlagerung von ${}S^{1}$.
7. Die Hopf-Abbildung ${}\eta \colon S^{3}\to \mathbb {CP} ^{1}$ ist keine Überlagerung.

Wie üblich kann man aus alten Überlagerungen neue Überlagerungen basteln. Hier ist nur eine mögliche Methode.

Lemma

Seien ${}p_{1}\colon E_{1}\to X_{1},p_{1}\colon E_{2}\to X_{2}$ Überlagerungen. Dann ist auch die Abbildung

${}p_{1}\coprod p_{2}\colon E_{1}\coprod E_{2}\to X_{1}\coprod X_{2},\ x\mapsto {\begin{cases}p_{1}(x)&x\in E_{1}\\p_{2}(x)&x\in E_{2}\end{cases}}\,$

eine Überlagerung. Ist ${}X_{1}=X_{2}=X$ so ist auch die Abbildung

${}p_{1}\cup p_{2}\colon E_{1}\coprod E_{2}\to X,\ x\mapsto {\begin{cases}p_{1}(x)&x\in E_{1}\\p_{2}(x)&x\in E_{2}\end{cases}}\,$

eine Überlagerung.

Beweis

Sei ${}\{U_{\alpha }\subseteq X_{1}\}_{\alpha \in A}$ eine Elementar-Überdeckung für ${}p_{1}$, mit topologischen Äquivalenzen

${}\phi _{\alpha }\colon p_{1}^{-1}(U_{\alpha }){\xrightarrow {\cong }}U_{\alpha }\times F_{\alpha }\,,$

und analog

${}\{V_{\beta }\subseteq X_{2}\}_{\beta \in B}$ eine Elementar-Überdeckung für ${}p_{2}$, mit topologischen Äquivalenzen

${}\psi _{\beta }\colon p_{2}^{-1}(V_{\beta }){\xrightarrow {\cong }}V_{\beta }\times G_{\beta }\,.$

Dann ist

${}\{U_{\alpha }\subseteq X_{1}\subseteq X_{1}\coprod X_{2}\}\cup \{V_{\beta }\subseteq X_{2}\subseteq X_{1}\coprod X_{2}\}_{\beta \in B}\,$

eine Elementar-Überdeckung für ${}p_{1}\coprod p_{2}$, denn die Abbildungen

${}\phi _{\alpha }\colon (p_{1}\coprod p_{2})^{-1}(U_{\alpha })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }){\xrightarrow {\cong }}U_{\alpha }\times F_{\alpha }\quad \psi _{\beta }\colon (p_{1}\coprod p_{2})^{-1}(V_{\beta })=p_{2}^{-1}(V_{\beta })\to ^{\cong }V_{\beta }\times G_{\beta }\,$

sind nach wie vor topologische Äquivalenzen. Also ist ${}p_{1}\coprod p_{2}$ eine Überlagerung.

Sei nun ${}X_{1}=X_{2}=X$. Die offene Überdeckung

${}\{U_{\alpha }\cap V_{\beta }\subseteq X\}_{(\alpha ,\beta )\in A\times B}\,$

ist eine Elementar-Überdeckung. Denn es ist

${}(p_{1}\cup p_{2})^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\coprod p_{2}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\,.$

Die Einschränkungen von ${}\phi _{\alpha }$ und ${}\psi _{\beta }$ auf ${}U_{\alpha }\cap V_{\beta }$ definieren eine topologische Äquivalenz

${}(p_{1}\cup p_{2})^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\coprod p_{2}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\to (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times F_{\alpha }\coprod (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times G_{\beta }\cong (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times (F_{\alpha }\coprod G_{\beta })\,,$

wobei die durch ${}\cong$ symbolisierte topologische Äquivalenz leicht einzusehen ist. Es folgt, dass ${}p_{1}\cup p_{2}$ eine Überlagerung ist.

$\Box$

Um zu zeigen, dass eine stetige Abbildung eine Überlagerung ist, muss man eine Elementar-Überdeckung finden. Dabei ist die Identifikation der diskreten topologischen Räume recht einfach. Denn eine gegebene topologische Äquivalenz

${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times F,\quad \mathrm {pr} _{1}(\phi (x))=p(x)\,$

schränkt ein auf eine topologische Äquivalenz

${}p^{-1}(x)\to \{x\}\times F\cong F,\quad x\in U\,.$

Das Urbild ${}p^{-1}(x)$ eines Punktes nennt man oft Faser von ${}p$ bei ${}x$.

Lemma

Sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung und ${}X$ zusammenhängend. Dann ist ${}p^{-1}(x)\cong p^{-1}(y)$ für alle ${}x,y\in X$.

Beweis

Sei zunächst ${}p\colon E\to X$ eine beliebige Überlagerung und ${}\{U_{\alpha }\subseteq X\}_{\alpha \in A}$ eine Elementar-Überdeckung. Das obige Argument zeigt, dass für ${}x,y\in U_{\alpha }$ schon

${}p^{-1}(x)\cong F_{\alpha }\cong p^{-1}(y)\,$

gilt. Sei nun ${}X$ zusammenhängend, ${}x\in X$ und

${}Y\colon =\{y\in X\colon p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x)\}\neq \emptyset \,.$

Dann ist ${}Y$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung. Aus dem gleichen Grund ist aber auch ${}X\smallsetminus Y$ offen. Da ${}X$ zusammenhängend ist, ist ${}X=Y$.

$\Box$

Also hängt die Faser einer Überlagerung eines zusammenhängenden Raumes nicht von der Wahl des Punktes ab.

Lemma

Sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung.

Dann ist ${}p(U)\subseteq X$ offen für alle ${}U\subseteq E$ offen.

Beweis

Sei ${}U\subseteq E$ offen. Um zu zeigen, dass ${}p(U)\subseteq X$ offen ist, sei ${}x\in U$. Gesucht ist eine offene Menge ${}W\subseteq X$ mit ${}p(x)\in W\subseteq p(U)$. Sei hierzu ${}V\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Elementar-Überdeckung von ${}X$, sowie ${}\phi \colon p^{-1}(V)\to V\times p^{-1}(p(x))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist ${}x\in U\cap \phi ^{-1}(V\times \{x\})$ offen in ${}\phi ^{-1}(V)$. Weil

${}p\vert _{\phi ^{-1}(V\times \{x\})}\colon \phi ^{-1}(V\times \{x\})\to V\,$

eine topologische Äquivalenz ist, ist auch ${}W:=p(U\cap \phi ^{-1}(V\times \{x\}))$ offen in ${}V$. Nun ist ${}V\subseteq X$ offen, also ist ${}W$ auch offen in ${}X$. Aus ${}x\in W\subseteq p(U)$ folgt die Behauptung.

$\Box$

Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Homotopien entlang der Überlagerung hochgehoben oder geliftet werden können. Diesen Sachverhalt haben wir schon bei der Berechnung der Homotopieklassen von Schlingen in ${}S^{1}$ bzw. bei der Bestimmung von ${}\pi _{1}(S^{1},1)$ zitiert. Die in diesem Fall verwendete Überlagerung ist die Exponentialabbildung

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}.$

Satz

Sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung, ${}H\colon Y\times I\to X$ eine Homotopie und ${}f\colon Y\to E$ eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass ${}p(f(y))=H(y,0)$ gilt für alle ${}y\in Y$. Dann gibt es genau eine

Homotopie

${}F\colon Y\times I\to E\,$

mit der Eigenschaft, dass

${}p\circ F=H$ und ${}F(y,0)=f(y)$ für alle ${}y\in Y$.

Beweis

Topologie/Überlagerungen/Homotopie-Liftung/Fakt/Beweis

$\Box$

Insbesondere kann man Wege liften.

Folgerung

Sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung, ${}w\colon I\to X$ ein Weg und ${}x\in E$ ein Punkt mit ${}p(x)=w(0)$. Dann gibt es genau einen

Weg

${}{\tilde {w}}\colon I\to E\,$

mit der Eigenschaft, dass

${}p\circ {\tilde {w}}=w$ und ${}{\tilde {w}}(0)=x$.

Beweis

Topologie/Überlagerungen/Wege-Liftung/Fakt/Beweis

$\Box$

Man kann auch relative Homotopien liften.

Folgerung

Sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung, ${}H\colon I\times I\to X$ eine Homotopie relativ ${}\{0,1\}$ und ${}f\colon I\to E$ ein Weg mit der Eigenschaft, dass ${}p(f(s))=H(s,0)$ gilt für alle ${}s\in I$. Dann gibt es genau eine

relative Homotopie

${}F\colon I\times I\to E\,$

mit der Eigenschaft, dass

${}p\circ F=H$ und ${}F(s,0)=f(s)$ für alle ${}s\in I$.

Beweis

Topologie/Überlagerungen/Relative-Homotopie-Liftung/Fakt/Beweis

$\Box$

Satz

Sei ${}X$ ein lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum.

1. Jede Weg-Zusammenhangskomponente von ${}X$ ist offen in ${}X$.
2. Als topologischer Raum ist ${}X$ die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten.
3. Die Weg-Zusammenhangskomponenten von ${}X$ stimmen mit den Zusammenhangskomponenten überein.

Beweis

Sei ${}W_{x}$ die Weg-Zusammenhangskomponente von ${}x\in X$. Nach Voraussetzung an ${}X$ existiert eine weg-zusammenhängende Umgebung ${}x\in V\subseteq X$. Insbesondere ist ${}V\subseteq W_{x}$. Somit ist ${}W_{x}\subseteq X$ offen nach Fakt. Dies zeigt die erste Behauptung. Als Menge ist ${}X$ sicherlich die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten. Um dies auch für den topologischen Raum zu erhalten, ist zu zeigen, dass jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen ist. Nun ist das Komplement einer Weg-Zusammenhangskomponente die Vereinigung aller anderen Weg-Zusammenhangskomponenten, die nach der ersten Behauptung offen ist. Also ist jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen, was die zweite Behauptung beweist. Die dritte Behauptung folgt sofort.

$\Box$

Satz

Sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung und ${}X$ lokal weg-zusammenhängend.

Dann ist ${}E$ auch lokal weg-zusammenhängend. Ist ${}E^{\prime }\subseteq E$ eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten von ${}E$, so ist die Einschränkung ${}p\vert _{E^{\prime }}\colon E^{\prime }\to X$ auch eine Überlagerung.

Beweis

Sei ${}e\in V\subseteq E$ eine Umgebung. Sei weiter ${}U\subseteq X$ eine offene Menge einer Elementar-Überdeckung, sowie ${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(p(e))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist ${}e\in V^{\prime }:=V\cap \phi ^{-1}(U\times \{e\})$ auch eine Umgebung. Aus Fakt folgt, dass ${}p(e)\in p(V^{\prime })\subseteq X$ ebenfalls eine Umgebung ist. Sei nun ${}p(e)\in W\subseteq p(V^{\prime })$ eine weg-zusammenhängende Umgebung. Es ist ${}W\subseteq U$, also ist ${}e\in \phi ^{-1}(W\times \{e\})\subseteq V$ die gesuchte weg-zusammenhängende Umgebung von ${}e\in E$.

$\Box$

Satz (Liftungssatz )

Sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung und ${}Y$ ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum. Sei weiter ${}e_{0}\in E,\,x_{0}=p(e_{0})\in X,\,y_{0}\in Y$ und ${}f\colon (Y,y_{0})\to (X,x_{0})$ eine stetige Abbildung punktierter topologischer Räume.

Es gibt eine stetige Abbildung ${}{\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (E,e_{0})$ punktierter topologischer Räume mit ${}p\circ {\tilde {f}}=f$ genau dann, wenn

${}f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,$

gilt.

Die stetige Abbildung ${}{\tilde {f}}$ ist durch die Bedingungen ${}p\circ {\tilde {f}}=f$ und ${}{\tilde {f}}(y_{0})=e_{0}$ eindeutig bestimmt, wenn sie existiert.

Beweis

Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Sei ${}{\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (E,e_{0})$ eine stetige Abbildung mit ${}p\circ {\tilde {f}}=f$. Dann ist

${}f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=(p\circ {\tilde {f}})_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=p_{\ast }{\bigl (}{\tilde {f}}_{\ast }(\pi _{1}(Y,y_{0})){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,.$

Um die Abbildung ${}{\tilde {f}}$ aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte Fakt von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei ${}y\in Y$. Da ${}Y$ zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist ${}Y$ nach Fakt weg-zusammenhängend. Sei also ${}w\colon I\to Y$ ein Weg von ${}y_{0}$ nach ${}y$. Nach Fakt gibt es genau einen Weg ${}{\tilde {f\circ w}}\colon I\to E$ mit den Eigenschaften, dass ${}{\tilde {f\circ w}}(0)=e_{0}$ und ${}p\circ {\tilde {f\circ w}}=f\circ w$ gilt. Setze nun ${}{\tilde {f}}(y)\colon ={\tilde {f\circ w}}(1)$. Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges ${}w$ ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun ${}w_{1},w_{2}$ zwei Wege in ${}Y$ von ${}y_{0}$ nach ${}y$. Dann ist ${}w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}$ eine Schleife in ${}Y$ am Basispunkt ${}y_{0}$. Insbesondere ist

${}f_{\ast }{\bigl (}[w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}]{\bigr )}=[f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})]\in f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,$

nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife ${}[u]\in \pi _{1}(E,e_{0})$ mit der Eigenschaft, dass

${}p_{\ast }([u])=f_{\ast }([w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}])\,.$

Sei ${}H\colon I\times I\to X$ eine Homotopie von ${}p\circ u$ zu ${}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$ relativ zu ${}\{0,1\}$. Wieder nach Fakt gibt es genau eine Homotopie ${}{\tilde {H}}\colon I\times I\to E$ mit der Eigenschaft, dass ${}{\tilde {H}}(s,0)=u(s)\,\forall \,s\in I$ und ${}p\circ {\tilde {H}}=H$. Aus ${}{\tilde {H}}(0,0)=u(0)=e_{0}=u(1)=H(1,0)$ und ${}H(0,t)=x_{0}=H(1,t)\,\forall \,t\in I$

folgt

${}{\tilde {H}}(0,t)=x_{0}={\tilde {H}}(1,t)\,\forall \,t\in I\,,$

denn ${}I$ ist zusammenhängend. Somit ist auch ${}{\tilde {H}}$ eine Homotopie relativ ${}\{0,1\}$. Insbesondere ist die Abbildung ${}s\mapsto {\tilde {H}}(s,1)$ eine Schleife an ${}e_{0}$. Sie ist aber nach Konstruktion ein (und aufgrund der durch den fixierten Anfangspunkt erzwungenen Eindeutigkeit der) Lift der Schleife ${}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$. Betrachte nun den Lift der Schleife

${}f\circ {\bigl (}(w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}w_{1}{\bigr )}=f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}(f\circ w_{1})\,.$

Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife ${}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$ zum Anfangspunkt ${}e_{0}$, und das haben wir mit der Einschränkung von ${}{\tilde {H}}$ auf ${}I\times \{1\}$ bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges ${}f\circ w_{1}$ zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an ${}e_{0}$, also ist dies ${}{\tilde {f\circ w_{1}}}$. Offensichtlich ist ${}f\circ {\bigl (}(w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}w_{1}{\bigr )}$ homotop relativ ${}\{0,1\}$ zu ${}f\circ w_{2}$, was nach Fakt auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere

${}{\tilde {f\circ w_{1}}}(1)={\tilde {f\circ w_{2}}}(1)\,$

was zeigt, dass ${}{\tilde {f}}$ wohldefiniert ist.

Nun zur Stetigkeit von ${}{\tilde {f}}$. Sei ${}y\in Y$ und ${}{\tilde {f}}(y)\in V\subseteq E$ eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung ${}y\in W\subseteq Y$ mit ${}{\tilde {f}}(W)\subseteq Y$. Diese konstruiert man wie folgt. Sei ${}U\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit ${}p({\tilde {f}}(y))=f(y)\in U$. Sei weiter ${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(f(y))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von ${}p$ auf ${}\phi ^{-1}(U\times \{{\tilde {f}}(y)\})$ ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist

${}V^{\prime }:=V\cap \phi ^{-1}(U\times \{{\tilde {f}}(y)\})\,$

eine Umgebung von ${}{\tilde {f}}$. Dann ist aber auch ${}p(V^{\prime })$ eine Umgebung von ${}f(y)$. Da ${}f$ stetig ist, gibt es eine Umgebung ${}y\in W^{\prime }\subseteq Y$ mit ${}f(W^{\prime })\subseteq p(V^{\prime })$. Nun ist ${}Y$ nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend. Demnach gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung ${}y\in W\subseteq W^{\prime }$. Die Behauptung ist nun, dass ${}{\tilde {f}}(W)\subseteq V$ gilt. Denn sei ${}z\in W$. Zur Konstruktion von ${}{\tilde {f}}(y)$ benötigen wir einen Weg ${}w_{z}$ von ${}y_{0}$ nach ${}z$. Sei ${}w_{y}$ ein Weg von ${}y_{0}$ nach ${}y$ und sei ${}w$ ein Weg von ${}y$ nach ${}z$, der ganz in ${}W$ verläuft. Dann ist ${}w_{y}{\scriptscriptstyle {\Box }}w$ ein Weg von ${}y_{0}$ nach ${}z$. Der Endpunkt ${}{\tilde {f}}(z)$ ist also gegeben durch den Endpunkt des Liftes ${}{\tilde {f\circ w}}$ zum Anfangspunkt ${}{\tilde {f}}(y)$. Da

${}p\colon V^{\prime }\to p(V^{\prime })\,$

eine topologische Äquivalenz ist und ${}f(W)\subseteq p(V^{\prime })$, ist der Lift ${}{\tilde {f\circ w}}$ zum Anfangspunkt ${}{\tilde {f}}(y)\in V^{\prime }$ ein Weg mit Bild in ${}V^{\prime }$. Insbesondere ist der Endpunkt ${}{\tilde {f}}(z)\in V^{\prime }\subseteq V$, was zu zeigen war.

$\Box$

Tatsächlich existiert die Abbildung ${}{\tilde {f}}\colon Y\to E$ bereits, wenn ${}Y$ weg-zusammenhängend ist. Aber für die Stetigkeit von ${}{\tilde {f}}$ reicht dies nicht immer aus, wie folgendes Beispiel zeigt.

Beispiel

Sei ${}Y$ der Warschauer Kreis, also die Vereinigung des Abschlusses ${}{\overline {\Gamma }}$ des Graphen ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{2}$ von ${}x\mapsto \sin({\frac {1}{x}}),\,x\in (0,1]$ und einem Kreisbogen ${}K$ von ${}(0,0)$ nach ${}(1,\sin(1))$, der ${}{\overline {\Gamma }}$ nicht trifft. Der topologische Raum ${}Y$ ist weg-zusammenhängend, aber nicht lokal weg-zusammenhängend. Des weiteren ist ja ${}{\overline {\Gamma }}$ das Standard-Beispiel eines zusammenhängenden Raumes, der nicht weg-zusammenhängend ist. Den Beweis dieser Tatsache kann man verwenden, um zu zeigen, dass ${}\pi _{1}(Y,(0,0))$ die triviale Gruppe ist. Sei ${}y_{0}=(0,0)\in Y$ und ${}f\colon Y\to S^{1}$ eine Abbildung, die ${}{\overline {\Gamma }}$ auf ${}1\in S^{1}$ abbildet und eine topologische Äquivalenz ${}Y/{\overline {\Gamma }}\to S^{1}$ induziert. Der Beweis des Liftungssatz liefert nun eine Abbildung

${}{\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (\mathbb {R} ,0)\,$

mit den Eigenschaften

${}{\tilde {f}}(y)=0\,\forall \,y\in \{0\}\times [-1,1]\subseteq {\overline {\Gamma }}\subseteq Y\ \ \ {\tilde {f}}(y)=1\,\forall \,y\in \Gamma \subseteq {\overline {\Gamma }}\subseteq Y\,.$

Die Abbildung ${}{\tilde {f}}$ ist aber nicht stetig.

Das langfristige Ziel ist es, alle Überlagerungen eines gegebenen topologischen Raumes effizient zu beschreiben. Dies geschieht mit Hilfe von algebraischen Daten, die mit der Fundamentalgruppe des jeweiligen Raumes in Verbindung stehen. Tatsächlich kann man unter bestimmten Voraussetzungen jede zusammenhängende Überlagerung aus einer bestimmten, der sogenannten universellen Überlagerung, konstruieren.

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt einfach-zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten ${}x,y\in X$ genau einen Weg in ${}X$ von ${}x$ nach ${}y$ bis auf Homotopie relativ ${}\{0,1\}$ gibt.

In anderen Worten: Ein topologischer Raum ${}X$ ist einfach-zusammenhängend, wenn ${}\pi _{0}(X)$ und ${}\pi _{1}(X,x_{0})$ jeweils nur ein Element besitzen.

Beispiel

1. Jeder zusammenziehbare Raum ist einfach-zusammenhängend.
2. Die ${}S^{n}$ ist einfach-zusammenhängend genau dann, wenn ${}n\geq 2$ gilt.

Definition

Sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine Überlagerung ${}p\colon E\rightarrow X$ heißt universelle Überlagerung, wenn der topologische Raum ${}E$ einfach-zusammenhängend ist.

Beispiel

1. Die Exponentialabbildung ${}\exp \colon \mathbb {R} \to S^{1}$ ist eine universelle Überlagerung.
2. Die kanonische Projektion ${}S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ ist eine universelle Überlagerung genau dann, wenn ${}n\geq 2$ gilt.

Die Existenz einer universellen Überlagerung impliziert eine bestimmte topologische Bedingung an den überlagerten Raum, die zunächst etwas gewöhnungsbedürftig ist (und heißt).

Lemma

Sei ${}X$ lokal wegzusammenhängend und ${}p\colon E\to X$ eine universelle Überlagerung. Dann gibt es für jedes ${}x\in X$ eine offene Menge ${}x\in U\subseteq X$ mit der Eigenschaft, dass der durch die Inklusion ${}U\hookrightarrow X$ induzierte Gruppenhomomorphismus ${}\pi _{1}(U,x)\to \pi _{1}(X,x)$ trivial ist.

Beweis

Sei ${}E\to X$ eine universelle Überlagerung, wobei ${}X$ lokal wegzusammenhängend ist. Ist ${}x\in X$, dann gibt es nach Voraussetzung eine offene Menge ${}x\in U\subseteq X$ und eine topologische Äquivalenz ${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times F$ über ${}U$, wobei ${}F$ ein diskreter topologischer Raum ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann ${}U$ als wegzusammenhängend vorausgesetzt werden. Sei nun ${}V$ eine Wegzusammenhangskomponente von ${}p^{-1}(U)$, dann ist die Einschränkung ${}q\colon V\to U$ von ${}p$ eine topologische Äquivalenz. Sei ${}y\in p^{-1}(x)\cap V$, dann ist die durch die Inklusion induzierte Abbildung ${}\pi _{1}(U,x)\to \pi _{1}(X,x)$ trivial. Denn diese stimmt überein mit der Komposition

${}\pi _{1}(U,x){\xrightarrow {q_{\ast }^{-1}}}\pi _{1}(V,y){\xrightarrow {\mathrm {inc} }}\pi _{1}(E,y){\xrightarrow {p_{\ast }}}\pi _{1}(X,x)\,$

und die Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(E,y)$ ist ja trivial.

$\Box$

Definition

Ein topologischer Raum ist semilokal einfach-zusammenhängend, wenn er lokal wegzusammenhängend ist und jeder Punkt ${}x\in X$ eine wegzusammenhängende Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ besitzt, so dass der durch die Inklusion induzierte Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(U,x)\longrightarrow \pi _{1}(X,x)$

trivial ist. Eine solche Umgebung heißt Spezialumgebung.

Satz

Jeder zusammenhängende und semilokal einfach-zusammenhängende topologische Raum besitzt eine universelle Überlagerung.

Beweis

Gegeben eine universelle Überlagerung ${}E\to X$, so kann man sowohl die unterliegende Menge als auch die Topologie von ${}E$ mit Hilfe von Daten ausdrücken, die nur mit ${}X$ zu tun haben. Dies führt zu folgender Definition. Sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x_{0}\in X$. Dann ist

${}BX\colon =\{w\colon I\to X\colon w(0)=x_{0},\,w{\text{ stetig}}\}\,$

die Menge der basierten Wege in ${}X$. Die Auswertung eines basierten Weges an ${}1\in I$ liefert die Endpunkt-Abbildung ${}e\colon BX\to X,\,w\mapsto w(1)$ in die unterliegende Menge von ${}X$. Auf ${}BX$ ist die Äquivalenzrelation Homotopie relativ ${}\{0,1\}$ definiert. Sei ${}BX\to {\tilde {X}}$ die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Ein Element in ${}{\tilde {X}}$ ist also eine relative Homotopieklasse von basierten Wegen in ${}X$. Sind ${}v,w\in [w]\in {\tilde {X}}$, so ist ${}v(1)=w(1)$, da ja die Homotopien den Endpunkt festhalten. Somit definiert die Endpunkt-Abbildung ${}e$ eine Abbildung

${}q\colon {\tilde {X}}\to X,\ \ \ [w]\mapsto w(1)\,.$

Dies wird die universelle Überlagerung sein. Um dies zu zeigen, wird ${}{\tilde {X}}$ zunächst mit einer Topologie versehen.

Sei nun ${}X$ semi-lokal einfach-zusammenhängend, also insbesondere lokal wegzusammenhängend. Ist ${}[w]\in {\tilde {X}}$, so besitzt ${}x\colon =q([w])=w(1)$ eine Spezialumgebung ${}x\in U\subseteq X$, die nach obigem Lemma offen gewählt werden kann (was wir jetzt auch tun). Sei nun

${}M([w],U)\colon ={\bigl \lbrace }[v]\in {\tilde {X}}\colon \exists u\colon I\to U{\text{ stetig mit }}u(0)=x,\,[v]=[w{\scriptscriptstyle {\Box }}u]{\bigr \rbrace }\,$

die Menge der relativen Homotopieklassen der basierten Wege, die sich darstellen lassen als Weg ${}w$ gefolgt von einem Weg ${}u$, der ganz in ${}U$ verläuft. Wir definieren nun: Eine Teilmenge ${}V\subseteq {\tilde {X}}$ ist offen, wenn zu jedem ${}[w]\in V$ eine offene Spezialumgebung ${}w(1)\in U\subseteq X$ existiert, so dass ${}M([w],U)\subseteq V$ gilt. Offensichtlich sind ${}\emptyset$ und ${}{\tilde {X}}$ offen. Sind ${}V_{1},V_{2}\subseteq {\tilde {X}}$ offen, so ist auch ${}V_{1}\cap V_{2}$ offen. Denn zu ${}[w]\in V_{1}\cap V_{2}$ gibt es offene Spezialumgebungen

${}w(1)\in U_{1}\subseteq X,\,w(1)\in U_{2}\subseteq X{\text{ mit }}M([w],U_{1})\subseteq V_{1},\,M([w],U_{2})\subseteq V_{2}\,.$

Sei ${}U\subseteq X$ die Wegzusammenhangskomponente der offenen Menge ${}U_{1}\cap U_{2}$, die ${}w(1)$ enthält. Weil ${}X$ lokal wegzusammenhängend ist, ist ${}U$ offen in ${}X$ nach dieser Aussage. Also ist ${}U$ eine offene Spezialumgebung von ${}w(1)$, denn der induzierte Gruppenhomomorphismus ${}\pi _{1}(U,w(1))\to \pi _{1}(X,w(1))$ faktorisiert als

${}\pi _{1}(U,w(1))\to \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},w(1))\to \pi _{1}(U_{1},w(1))\to \pi _{1}(X,w(1))\,$

und ist somit trivial. Des weiteren gilt offensichtlich

${}M([w],U)\subseteq M([w],U_{1})\cap M([w],U_{2})\subseteq V_{1}\cap V_{2}\,,$

was die Offenheit von ${}V_{1}\cap V_{2}$ liefert. Dass eine Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist, ist offensichtlich. Somit ist ${}{\tilde {X}}$ ein topologischer Raum.

Um zu zeigen, dass ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine Überlagerung ist, sei wieder ${}x\in U\subseteq X$ eine offene Spezialumgebung. Es ist

${}q^{-1}(U)=\{[v]\colon \,v\colon I\to X,\,v(0)=x_{0},\,v(1)\in U\}=\bigcup _{[w]\in q^{-1}(x)}M([w],U)\,.$

Denn zu ${}[v]\in q^{-1}(U)$ gibt es genau eine relative Homotopieklasse ${}[u(v)]$ eines Weges von ${}v(1)$ nach ${}x$ mit Bild in ${}U$. Somit liegt ${}[v]$ genau in der durch ${}[w]=[v{\scriptscriptstyle {\Box }}u(v)]$ indizierten Menge ${}M([w],U)$. Daraus folgert man zwei Sachen. Zum einen ist ${}q^{-1}(U)$ als Vereinigung offener Mengen wieder offen, was die Stetigkeit von ${}q$ liefert. Denn eine beliebige Umgebung eines Punktes enthält immer auch eine offene Spezialumgebung. Zum anderen ist die Vereinigung

${}\bigcup _{[w]\in q^{-1}(x)}M([w],U)\,$

disjunkt, wegen der oben erwähnten Eindeutigkeit. Sei nun ${}\phi \colon M([w],U)\to U$ die Einschränkung von ${}q$ und ${}y\in U$, dann gibt es genau eine relative Homotopieklasse ${}[u(y)]$ eines Weges von ${}x$ nach ${}y$ mit Bild in ${}U$. Dies liefert eine Umkehrabbildung

${}\psi \colon U\to M([w],U),\,y\mapsto \psi (y)=[w{\scriptscriptstyle {\Box }}u(y)].\,$

Um die Stetigkeit von ${}\psi$ zu zeigen, reicht es, eine Menge der Form ${}M([v],V)\subseteq M([w],U)$ zu betrachten, wobei ${}[v]\in M([w],U)$ und ${}v(1)\in V\subseteq U$ eine offene Spezialumgebung ist. Dann ist

${}\psi ^{-1}{\bigl (}M([v],V){\bigr )}=\phi {\bigl (}M([v],V){\bigr )}=V\subseteq U\,$

offen in ${}U$. Somit ist ${}\phi \colon M([w],U)\to U$ eine topologische Äquivalenz. Anders ausgedrückt ist ${}q^{-1}(U)$ topologisch äquivalent zu dem Produkt ${}q^{-1}(x)\times U$, was zeigt, dass ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine Überlagerung ist.

Es bleibt zu zeigen, dass ${}{\tilde {X}}$ wegzusammenhängend und einfach-zusammenhängend ist. Sei ${}[x_{0}]\in {\tilde {X}}$ die Homotopieklasse des konstanten Weges an ${}x_{0}$ und ${}[w]\in {\tilde {X}}$. Sei ${}w\colon I\to X$ ein Repräsentant von ${}[x]$ und für alle ${}t\in I$ der Weg

${}w_{t}\colon I\to X,\,s\mapsto w_{t}(s)=w(s\cdot t)\,$

gegeben. Dann ist

${}W\colon I\to {\tilde {X}},\,t\mapsto [w_{t}]\,$

eine Abbildung mit ${}W(0)=[w_{0}]=[x_{0}]$ und ${}W(1)=[w_{1}]=[w]$. Sie ist stetig. Denn gegeben eine offene Spezialumgebung ${}w(t)\in U\subseteq X$, so gibt es aufgrund der Stetigkeit von ${}w$ ein ${}\delta >0$ mit

${}w{\bigl (}U_{I}(t,\delta ){\bigr )}\subseteq U\,$

. Insbesondere ist für jedes ${}s\in U_{I}(t,\delta )$ also ${}[w_{s}]\in M(w(t),U)$, denn

${}[w_{s}]=[w]{\scriptscriptstyle {\Box }}[u_{s}],\,u_{s}\colon I\to U,\,x\mapsto w{\bigl (}s+x(t-s){\bigr )}\,.$

Demnach ist ${}W$ ein Weg von ${}[x_{0}]$ nach ${}[w]$, und ${}{\tilde {X}}$ ist wegzusammenhängend. Der einfache Zusammenhang folgt, sobald ${}\pi _{1}({\tilde {X}},[x_{0}])$ trivial ist. Sei also ${}v\colon I\to {\tilde {X}}$ eine Schleife an ${}[x_{0}]$ und ${}q\circ v\colon I\to X$ die induzierte Schleife an ${}x_{0}\in X$. Nun ist ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine Überlagerung, also ist ${}v$ nach diesem Satz bereits nullhomotop, wenn ${}q\circ v$ es ist. Sei nun ${}w\colon I\to {\tilde {X}},\,t\mapsto [(q\circ v)_{t}]$ in obiger Notation, also ${}(q\circ v)_{t}(s)=(q\circ v)(s\cdot t)$. Dies ist ein Weg von ${}[x_{0}]$ zu ${}[(q\circ v)_{1}]=[q\circ v]$ mit der Eigenschaft, dass ${}q\circ w=q\circ v$ gilt. Die Eindeutigkeit aus dem Homotopie-Liftungssatz liefert nun ${}w=v$, also insbesondere

${}[q\circ v]=w(1)=v(1)=[x_{0}]\,,$

was den Beweis beendet.

$\Box$

Definition

Seien ${}p\colon E\to X,q\colon F\to X$ Überlagerungen von ${}X$. Eine Abbildung von Überlagerungen von ${}p$ nach ${}q$ ist eine stetige Abbildung ${}f\colon E\to F$ mit der Eigenschaft, dass ${}q\circ f=p$ gilt. Ist ${}f$ zudem eine topologische Äquivalenz, so ist ${}f$ ein Isomorphismus von Überlagerungen. Die Menge der Abbildungen von Überlagerungen von ${}p$ nach ${}q$ wird mit ${}\operatorname {Hom} _{X}(E,F)$ bezeichnet. Die Menge der Isomorphismen von Überlagerungen von ${}p$ nach ${}p$ heißt ${}\operatorname {Aut} _{X}(E)$. Diese Menge ist eine Gruppe unter Komposition, die sogenannte Decktransformationengruppe von ${}p\colon E\to X$.

Sei ${}X$ ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, ${}x_{0}\in X$ und ${}G:=\pi _{1}(X,x_{0})$ die Fundamentalgruppe von ${}X$. Ist ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung, so operiert die Gruppe ${}G$ auf der Faser ${}p^{-1}(x_{0})$ in folgender Weise. Sei ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})$. Nach dem Homotopie-Liftungssatz gibt es einen Weg ${}w\colon I\to E$ von ${}y$ zu ${}z$ mit ${}p\circ w=u\in [u]$, dessen Endpunkt ${}z$ nicht von der Wahl ${}u\in [u]$ abhängt. Setze ${}y\cdot [u]:=z$. Dies liefert eine Abbildung

${}p^{-1}(x_{0})\times \pi _{1}(X,x_{0})\to p^{-1}(x_{0})\ \ \ (y,[u])\mapsto y\cdot [u]\,.$

Satz

Sei ${}X$ ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, ${}x_{0}\in X$ und ${}G:=\pi _{1}(X,x_{0})$ die Fundamentalgruppe von ${}X$. Sei weiter ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung. Es gilt:

1. Die Abbildung ${}p^{-1}(x_{0})\times G\to p^{-1}(x_{0})$ ist eine rechte ${}G$-Operation.
2. Die Menge der Bahnen ${}p^{-1}(x_{0})/G$ ist isomorph zu ${}\pi _{0}E$.
3. Für jedes ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ stimmt die Standgruppe ${}G_{y}:=\{[u]\in G\colon y\cdot [u]=y\}$ überein mit dem Bild ${}p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$.
4. Ist ${}f\colon E_{1}\to E_{2}$ eine Abbildung von Überlagerungen von ${}X$, so ist die Einschränkung

   ${}f\vert _{p_{1}^{-1}(x_{0})}\colon p_{1}^{-1}(x_{0})\to p_{2}^{-1}(x_{0})\,$

   eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen.

Beweis

1. Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen ${}(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u{\scriptscriptstyle {\Box }}v]$ und ${}y\cdot [x_{0}]=y$ für alle ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}[u],[v]\in \pi _{1}(X,x_{0})$ gelten. Sei ${}u^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von ${}u\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}y$ und ${}v^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von ${}v\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}u^{\prime }(1)$. Dann ist ${}u^{\prime }{\scriptscriptstyle {\Box }}v^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von ${}u{\scriptscriptstyle {\Box }}v\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}y$. Die Gleichung

   ${}u^{\prime }{\scriptscriptstyle {\Box }}v^{\prime }(1)=v^{\prime }(1)\,$

   liefert dann die Identität ${}(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u{\scriptscriptstyle {\Box }}v]$. Der Lift der konstanten Schleife ${}x_{0}\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}y$ ist die konstante Schleife ${}y\colon I\to E$, was die Identität ${}y\cdot [x_{0}]=y$ liefert.
2. Sind zwei Punkte ${}y,z\in p^{-1}(x_{0})$ in derselben Bahn, also ${}y\cdot [u]=z$ für ein ${}[u]\in \pi _{0}(X,x_{0})$, so gibt es insbesondere einen Weg in ${}E$ von ${}y$ nach ${}z$. Die Komposition der Inklusion ${}i\colon p^{-1}(x_{0})\hookrightarrow E$ und der kanonische Projektion ${}q\colon E\to \pi _{0}(E)$ induziert also eine Abbildung

   ${}\phi \colon p^{-1}(x_{0})/G\to \pi _{0}(E)\,.$

   Die Abbildung ${}\phi$ ist injektiv. Denn wenn ${}y,z\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}w$ ein Weg in ${}E$ von ${}y$ nach ${}z$ ist, so ist ${}p\circ w\colon I\to X$ eine Schleife an ${}x_{0}$ mit der Eigenschaft, dass ${}y\cdot [p\circ w]=z$. Die Abbildung ${}\phi$ ist surjektiv. Denn wenn ${}z\in E$ beliebig ist, so gibt es in ${}X$ einen Weg von ${}p(z)$ nach ${}x_{0}$ -- schließlich ist ${}X$ weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt ${}z$ ist ein Weg zu einem Element in ${}p^{-1}(x_{0})$.

3. Sei nun ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})$ derart, dass ${}y\cdot [u]=y$. Dann ist aber der Lift ${}u^{\prime }\colon I\to E$ von ${}u$ zum Anfangspunkt ${}y$ eine Schleife an ${}y$ mit der Eigenschaft, dass

   ${}p_{\ast }([u^{\prime }])=[p\circ u^{\prime }]=[u]\,$

   Es folgt, dass ${}G_{y}\subseteq p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))$. Ist hingegen ${}v\colon I\to E$ eine Schleife an ${}y$, so ist ${}y\cdot [p\circ v]=v(1)=y$, was die Inklusion ${}G_{y}\supseteq p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))$ zeigt.

4. Sei ${}f\colon E_{1}\to E_{2}$ eine Abbildung von Überlagerungen. Ist ${}y\in p_{1}^{-1}(x_{0})$, so gilt ja wegen ${}p_{2}\circ f=p_{1}$ auch ${}f(y)\in p_{2}^{-1}(x_{0})$. Demnach schränkt ${}f$ auf eine Abbildung

   ${}f\colon p_{1}^{-1}(x_{0})\to p_{2}^{-1}(x_{0})\,$

   ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen ist, sei ${}[u]\in G=\pi _{1}(X,x_{0})$. Ist ${}u^{\prime }\colon I\to E_{1}$ der Lift von ${}u$ zum Anfangspunkt ${}y\in E_{1}$, so ist ${}f\circ u^{\prime }$ der Lift von ${}u$ zum Anfangspunkt ${}f(y)\in E_{1}$. Denn ${}p_{2}\circ (f\circ u^{\prime })=p_{1}\circ u^{\prime }=u$. Somit ist

   ${}f(y)\cdot [u]=(f\circ u^{\prime })(1)=f(u^{\prime }(1))=f(y\cdot [u])\,,$

   was zeigt, dass ${}f$ eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen ist.

$\Box$

Satz

Sei ${}X$ ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum, ${}x_{0}\in X$ und ${}p\colon E\to X,q\colon F\to X$ Überlagerungen von ${}X$. Die Abbildung

${}\operatorname {Hom} _{X}(E,F)\to \operatorname {Hom} _{G}{\bigl (}p^{-1}(x_{0}),q^{-1}(x_{0}){\bigr )}\ \ \ f\mapsto f\vert _{p^{-1}(x_{0})}\,$

ist bijektiv.

Beweis

Sei ${}\phi \colon p^{-1}(x_{0})\to q^{-1}(x_{0})$ eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen. Um diese zu einer Abbildung ${}f\colon E\to F$ von Überlagerungen von ${}X$ zu erweitern, sei ${}E^{\prime }$ eine Wegzusammenhangskomponente von ${}E$. Da ${}X$ nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend ist, ist es auch ${}E$ nach dieser Aussage. Insbesondere ist der topologische Raum ${}E$ die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten nach diesem Satz. Zudem ist ${}p^{\prime }\colon E^{\prime }\hookrightarrow E{\xrightarrow {p}}X$ wieder eine Überlagerung. Es reicht also, eine Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen anzugeben, die auf ${}p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ mit ${}\phi$ übereinstimmt. Dies geschieht mit Hilfe des Liftungssatzes.

Sei ${}y_{0}\in p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ und ${}e_{0}=\phi (y_{0})\in q^{-1}(x_{0})\subseteq F$. Der Liftungssatz liefert die Existenz (genau) einer stetigen Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ mit ${}q\circ f=p\vert _{E^{\prime }}$ genau dann, wenn ${}p_{\ast }\pi _{1}(E^{\prime },y_{0})\subseteq q_{\ast }\pi _{1}(F,e_{0})$ gilt. Nach obigem Satz ist ${}p_{\ast }\pi _{1}(E^{\prime },y_{0})=G_{y_{0}}$. Weil ${}\phi$ eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen ist, gilt ${}G_{y_{0}}\subseteq G_{e_{0}}$. Wieder nach obigem Satz ist ${}G_{e_{0}}=q_{\ast }\pi _{1}(F,e_{0})$. Also ist der Liftungssatz anwendbar, und es existiert eine stetige Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ mit ${}q\circ f=p\vert _{E^{\prime }}$, die auf ${}y_{0}$ mit ${}\phi$ übereinstimmt. Nun ist jedes Element in ${}p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ nach obigem Satz von der Form ${}y_{0}\cdot [u]$ für ein ${}[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})=G$. Dies impliziert, dass ${}f$ auf ganz ${}p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ mit ${}\phi$ übereinstimmt. Somit ist gezeigt, dass die Abbildung

${}\operatorname {Hom} _{X}(E,F)\to \operatorname {Hom} _{G}(p^{-1}(x_{0}),q^{-1}(x_{0}))\,$

surjektiv ist.

Das obige Argument zeigt, dass die Abbildung ${}f\colon E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen von ${}X$ schon durch die Angabe des Bildes eines Punktes eindeutig bestimmt ist. Dies zeigt die Injektivität der Abbildung zusammen mit der universellen Eigenschaft der disjunkten Vereinigung.

$\Box$

Satz

Sei ${}X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum. Die Gruppe der Decktransformationen einer universellen Überlagerung von ${}X$ ist isomorph zur Fundamentalgruppe von ${}X$.

Beweis

Sei ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine universelle Überlagerung, wobei ${}X$ zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist. Sei weiter ${}x_{0}\in X$ und ${}G=\pi _{1}(X,x_{0})$. Nach obigem Satz

ist die Decktransformationengruppe von ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ isomorph zur Automorphismengruppe der ${}G$-Menge ${}q^{-1}(x_{0})$. Es reicht also zu zeigen, dass die letztere Gruppe, die mal mit ${}\operatorname {Aut} _{G}(q^{-1}(x_{0}))$ bezeichnet werde, isomorph zu ${}G$ ist. Um einen Isomorphismus anzugeben, wähle ${}y\in q^{-1}(x_{0})$. Sei weiter ${}{\overline {G}}$ die rechte ${}G$-Menge mit unterliegender Menge ${}G$ und Operation

${}{\overline {G}}\times G=G\times G{\xrightarrow {\mu }}G={\overline {G}}\,,$

wobei ${}\mu$ die Multiplikation auf ${}G$ ist. Die Abbildung

${}\psi _{y}\colon {\overline {G}}\to q^{-1}(x_{0})\ \ \ g\mapsto y\cdot g\,$

ist eine Abbildung von ${}G$-Mengen, denn

${}\psi _{y}(g\cdot h)=y\cdot (g\cdot h)=(y\cdot g)\cdot h=\psi _{y}(g)\cdot h\,.$

Des weiteren ist ${}\psi _{y}$ bijektiv: injektiv, weil die Standgruppe ${}G_{y}=q_{\ast }(\pi _{1}({\tilde {X}},y))$ nach obigem Satz

trivial ist, und surjektiv, weil nach obigem Satz

${}\pi _{0}({\tilde {X}})\cong q^{-1}(x_{0})/G$ trivial ist. Es folgt, dass

${}\operatorname {Aut} _{G}(q^{-1}(x_{0}))\cong \operatorname {Aut} _{G}({\overline {G}})\,$

Sei nun

${}\phi \colon G\to \operatorname {Aut} _{G}({\overline {G}})\ \ \ g\mapsto (h\mapsto g\cdot h)\,,$

dann ist ${}\phi$ ein Gruppenhomomorphismus, weil die Multiplikation in der Gruppe assoziativ ist. Des weiteren ist ${}\phi$ injektiv, denn die Abbildung ${}h\mapsto g\cdot h$ ist die Identität genau dann, wenn ${}g=1_{G}$ gilt. Sei ${}\xi$ ein ${}G$-Automorphismus von ${}{\overline {G}}$. Dann ist

${}\xi (h)=\xi (1\cdot h)=\xi (1)\cdot h\,\forall \,h\in {\overline {G}}\,,$

was die Surjektivität liefert.

$\Box$

Einen anderen Beweis des Satzes erhält man durch die Inspektion der Konstruktion einer universellen Überlagerung. Ist ${}x_{0}\in X$ der Basispunkt eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes, so ist die unterliegende Menge von ${}{\tilde {X}}$ gegeben durch die relativen Homotopieklassen ${}[v]$ von Wegen in ${}X$, die bei ${}x_{0}$ beginnen. Offensichtlich ist die Faser der Überlagerung ${}{\tilde {X}}\to X$ bei ${}x_{0}$ identisch mit der unterliegenden Menge der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X,x_{0})$. Man beachte, dass diese Faser die Homotopieklasse des konstanten Weges als ausgezeichneten Punkt besitzt.

Den Satz kann man dazu benutzen, Fundamentalgruppen topologischer Räume zu bestimmen.

Beispiel

Sei ${}p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ die kanonische Überlagerung und ${}n\geq 2$. Dann ist ${}S^{n}$ einfach-zusammenhängend nach diesem Beispiel. Da ${}\mathbb {RP} ^{n}$ semi-lokal einfach-zusammenhängend und zusammenhängend ist, ist die Decktransformationengruppe von ${}p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ isomorph zur Fundamentalgruppe von ${}\mathbb {RP} ^{n}$. Man sieht relativ leicht, dass es genau zwei Decktransformationen gibt: die Identität und die Abbildung ${}x\mapsto -x$. Also ist die Fundamentalgruppe von ${}\mathbb {RP} ^{n}$ die Gruppe mit zwei Elementen.

Sei nun ${}H\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$ eine Untergruppe der Fundamentalgruppe eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes. Diese Gruppe operiert vermöge der obigen Isomorphie auf dem Totalraum einer universellen Überlagerung ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$. Sei ${}{\tilde {X}}/H$ der Raum der ${}H$-Bahnen, versehen mit der Quotientenraumtopologie. Seien weiter ${}r\colon {\tilde {X}}\to {\tilde {X}}/H$ die kanonische und ${}p\colon {\tilde {X}}/H\to X$ die durch ${}q\colon {\tilde {X}}\to X$ induzierte Abbildung. Dann gilt folgender Sachverhalt.

Satz

Sei ${}X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, ${}x_{0}\in X$ und ${}H\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$ eine Untergruppe. Die Abbildung ${}p\colon {\tilde {X}}/H\to X$ ist eine Überlagerung, und es gilt ${}p_{\ast }\pi _{1}({\tilde {X}}/H,y_{0})=H$ für jedes ${}y_{0}\in p^{-1}(x_{0})$.

Beweis

Sei ${}U\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Spezialüberdeckung. Dann gibt es eine topologische Äquivalenz ${}q\colon q^{-1}(U)\cong U\times \pi _{1}(X,x_{0})$. Die Gruppe ${}\pi _{1}(X,x_{0})$ operiert auf ${}q^{-1}(U)$ durch Decktransformationen und auf ${}U\times \pi _{1}(X,x_{0})$ durch Multiplikation auf dem zweiten Faktor. Die topologische Äquivalenz ${}\phi$ ist kompatibel mit diesen Operationen, also eine topologische Äquivalenz von ${}\pi _{1}(X,x_{0})$-Räumen. Es folgt, dass

${}p^{-1}(U)=r{\bigl (}q^{-1}(U){\bigr )}\cong U\times \pi _{1}(X,x_{0})/H\,,$

was im Wesentlichen zeigt, dass ${}p$ eine Überlagerung von ${}X$ ist. Die zweite Aussage folgt aus obigem Satz.

$\Box$

Zusammenfassend gilt also folgendes: Ist ${}X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, so gibt es zu jeder Untergruppe ${}H\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$ eine zusammenhängende Überlagerung ${}p\colon E\to X$ mit ${}p_{\ast }\pi _{1}(E)=H$.