1-Form/K/Vektorräume/Fokus auf Funktionentheorie/Rückzug/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$ -wertige ${}1$ -Differentialform auf ${}U$ . Es sei ${}U'\subseteq V'$ eine offene Menge in einem weiteren endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum ${}V'$ und

\varphi \colon U'\longrightarrow U

eine total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man die Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf ${}U'$ mit Werten in ${}W$ , die einem Punkt ${}P\in U'$ die lineare Abbildung ${}\omega (\varphi (P))\circ \left(D\varphi \right)_{P}\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V',W\right)}$ zuordnet, die zurückgezogene Differentialform.

Lemma

Es seien ${}V',V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorräume, auf ${}V'$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ und auf ${}V$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen ${}y_{1},\ldots ,y_{m}$ fixiert. Es seien ${}U\subseteq V$ und ${}U'\subseteq V'$ offene Teilmengen, es sei

\varphi \colon U'\longrightarrow U

eine total differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}W$ -wertige ${}1$ -Differentialform auf ${}U$ mit der Darstellung

{}\omega =\sum _{i=1}^{m}f_{i}dy_{i}\,

mit Funktionen ${}f_{i}\colon U\rightarrow W$ .

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{m}{\left(f_{i}\circ \varphi \right)}\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{j}\\\end{aligned}}$

Beweis

Aufgrund der Additivität beider Seiten können wir ${}\omega =f_{i}dy_{i}$ für ein ${}i$ annehmen. Es ist die Gleichheit von zwei linearen Abbildungen zu zeigen, sodass wir die Wirkungsweise auf der Basis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V'$ , die den Koordinaten ${}x_{j}$ zugrunde liegt, betrachten. Für einen Punkt ${}P\in U'$ und ein ${}k$ ist aber

{}{\begin{aligned}(\varphi ^{*}\omega )(P,u_{k})&={\left(\omega (\varphi (P))\circ \left(D\varphi \right)_{P}\right)}(u_{k})\\&={\left(f_{i}dy_{i}\right)}(\varphi (P)){\left(\left(D\varphi \right)_{P}\right)}(u_{k})\\&={\left(f_{i}(\varphi (P))dy_{i}\right)}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{k}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{k}}}(P)\end{pmatrix}}\\&={\left(f_{i}\circ \varphi \right)}(P)\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{k}}}(P)\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(f_{i}\circ \varphi \right)}(P)\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(P)dx_{j}\right)}(u_{k}).\end{aligned}}

\Box

Für eine holomorphe Differentialform ${}hdz$ , die auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit einer komplex-differenzierbaren Funktion ${}h\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ gegeben ist, und eine weitere komplex-differenzierbare Funktion ${}\varphi \colon U'\longrightarrow U$ , ${}w\longmapsto \varphi (w)$ , ist der Rückzug gleich

{}\varphi ^{*}{\left(hdz\right)}=(h\circ \varphi )\cdot \varphi 'dw\,.

Insbesondere ist

{}\varphi ^{*}{\left(dz\right)}=\varphi 'dw\,.

Es ist dieses Transformationsverhalten, das den Hauptunterschied zwischen einer holomorphen Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ und der Differentialform ${}fdz$ ausmacht.

Lemma

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}1$ -Differentialform auf ${}U$ mit Werten in ${}W$ . Es seien ${}U'\subseteq V'$ und ${}U^{\prime \prime }\subseteq V^{\prime \prime }$ weitere offene Mengen in endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorräumen ${}V'$ bzw. ${}V^{\prime \prime }$ . Es seien