Affiner Unterraum/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein affiner Raum über dem -Vektorraum . Eine Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn
ist, mit einem Punkt und einem -Untervektorraum .
Lemma
Es sei ein affiner Raum über dem -Vektorraum . Für eine Teilmenge sind äquivalent.
- ist ein affiner Unterraum von .
- Zu und Zahlen mit ist auch .
- Mit je zwei Punkten und mit ist auch .
Beweis
. Es sei mit und einem Untervektorraum . Dann ist mit einem . Nach Definition einer baryzentrischen Kombination ist
ein Element von .
. Dies ist eine Abschwächung.
. Wir wählen einen Punkt und betrachten
Es ist . Zu gehören nach Voraussetzung auch und zu . Damit gehört wiederum auch
zu , wobei die Gleichheit auf Aufgabe beruht. Dieser Punkt ist aber gleich
so dass zu gehört. Somit ist abgeschlossen unter der Vektoraddition. Es sei und . Dann gehört nach Voraussetzung auch
zu und damit gehört zu . Also ist mit einem Untervektorraum .
Lemma
Es sei ein affiner Raum über dem -Vektorraum .
Dann ist der Durchschnitt von einer Familie , , von affinen Unterräumen wieder affin.
Beweis
Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei . Wir können die affinen Räume als
schreiben. Sei
was nach Fakt (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten
Aus folgt
mit , so dass liegt. Umgekehrt folgt aus direkt .