Affiner Unterraum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Eine Teilmenge  ${}F\subseteq E$  heißt affiner Unterraum, wenn (${}F$ leer ist)

${}F=P+U\,$

ist, mit einem Punkt  ${}P\in E$  und einem ${}K$-Untervektorraum  ${}U\subseteq V$. 

Lemma

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Für eine Teilmenge  ${}F\subseteq E$  sind äquivalent.

1. ${}F$ ist ein affiner Unterraum von ${}E$.
2. Zu  ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in F$  und Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ mit  ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1$  ist auch  ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}\in F$. 
3. Mit je zwei Punkten  ${}P,Q\in F$  und  ${}r,s\in K$  mit  ${}r+s=1$  ist auch  ${}rP+sQ\in F$. 

Beweis

Im leeren Fall sind alle drei Bedingungen erfüllt, sei also ${}F$ nicht leer. ${}(1)\Rightarrow (2)$. Es sei  ${}F=P+U$  mit  ${}P\in F$  und einem Untervektorraum  ${}U\subseteq V$.  Dann ist  ${}P_{i}=P+u_{i}$  mit einem  ${}u_{i}\in U$.  Nach Definition einer baryzentrischen Kombination ist

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {PP_{i}}}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\,$

ein Element von ${}F$.

${}(2)\Rightarrow (3)$. Dies ist eine Abschwächung.

${}(3)\Rightarrow (1)$. Wir wählen einen Punkt  ${}P\in F$  und betrachten

${}U:={\left\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in F\right\}}\subseteq V\,.$

Es ist  ${}0\in U$.  Zu  ${}Q,Q'\in F$  gehören nach Voraussetzung auch ${}-P+2Q$ und ${}-P+2Q'$ zu ${}F$. Damit gehört wiederum auch

${}{\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q'\right)}=-P+Q+Q'\,$

zu ${}F$, wobei die Gleichheit auf Aufgabe beruht. Dieser Punkt ist aber gleich

${}P-{\overrightarrow {PP}}+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}=P+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}\,,$

sodass ${}{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}$ zu ${}U$ gehört. Somit ist ${}U$ abgeschlossen unter der Vektoraddition. Es sei  ${}Q\in F$  und  ${}s\in K$.  Dann gehört nach Voraussetzung auch

${}(1-s)P+sQ=P+s{\overrightarrow {PQ}}\,$

zu ${}F$ und damit gehört ${}s{\overrightarrow {PQ}}$ zu ${}U$. Also ist  ${}F=P+U$  mit einem Untervektorraum ${}U$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Dann ist der Durchschnitt von einer Familie ${}F_{i}\subseteq E$, ${}i\in I$, von affinen Unterräumen wieder affin.

Beweis

Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei  ${}P\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$.  Wir können die affinen Unterräume als

${}F_{i}=P+U_{i}\,$

mit Untervektorräumen  ${}U_{i}\subseteq V$  schreiben. Sei

${}U=\bigcap _{i\in I}U_{i}\,,$

was nach Fakt  (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten

${}\bigcap _{i\in I}F_{i}=P+U\,.$

Aus  ${}Q\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$  folgt

${}Q=P+u\,$

mit  ${}u\in \bigcap _{i\in I}U_{i}$,  sodass  ${}Q\in P+U$  liegt. Umgekehrt folgt aus  ${}Q\in P+U$  direkt  ${}Q\in P+U_{i}=F_{i}$. 

$\Box$