Affiner Unterraum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Eine Teilmenge ${}F\subseteq E$ heißt affiner Unterraum, wenn (${}F$ leer ist)

${}F=P+U\,$

ist, mit einem Punkt ${}P\in E$ und einem ${}K$-Untervektorraum ${}U\subseteq V$.

Lemma

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Für eine Teilmenge ${}F\subseteq E$ sind äquivalent.

1. ${}F$ ist ein affiner Unterraum von ${}E$.
2. Zu ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in F$ und Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1$ ist auch ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}\in F$.
3. Mit je zwei Punkten ${}P,Q\in F$ und ${}r,s\in K$ mit ${}r+s=1$ ist auch ${}rP+sQ\in F$.

Beweis

Im leeren Fall sind alle drei Bedingungen erfüllt, sei also ${}F$ nicht leer. ${}(1)\Rightarrow (2)$. Es sei ${}F=P+U$ mit ${}P\in F$ und einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$. Dann ist ${}P_{i}=P+u_{i}$ mit einem ${}u_{i}\in U$. Nach Definition einer baryzentrischen Kombination ist

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {PP_{i}}}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\,$

ein Element von ${}F$.

${}(2)\Rightarrow (3)$. Dies ist eine Abschwächung.

${}(3)\Rightarrow (1)$. Wir wählen einen Punkt ${}P\in F$ und betrachten

${}U:={\left\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in F\right\}}\subseteq V\,.$

Es ist ${}0\in U$. Zu ${}Q,Q'\in F$ gehören nach Voraussetzung auch ${}-P+2Q$ und ${}-P+2Q'$ zu ${}F$. Damit gehört wiederum auch

${}{\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q'\right)}=-P+Q+Q'\,$

zu ${}F$, wobei die Gleichheit auf Aufgabe beruht. Dieser Punkt ist aber gleich

${}P-{\overrightarrow {PP}}+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}=P+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}\,,$

sodass ${}{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}$ zu ${}U$ gehört. Somit ist ${}U$ abgeschlossen unter der Vektoraddition. Es sei ${}Q\in F$ und ${}s\in K$. Dann gehört nach Voraussetzung auch

${}(1-s)P+sQ=P+s{\overrightarrow {PQ}}\,$

zu ${}F$ und damit gehört ${}s{\overrightarrow {PQ}}$ zu ${}U$. Also ist ${}F=P+U$ mit einem Untervektorraum ${}U$.

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Lemma

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Dann ist der Durchschnitt von einer Familie ${}F_{i}\subseteq E$, ${}i\in I$, von affinen Unterräumen wieder affin.

Beweis

Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei ${}P\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$. Wir können die affinen Unterräume als

${}F_{i}=P+U_{i}\,$

mit Untervektorräumen ${}U_{i}\subseteq V$ schreiben. Sei

${}U=\bigcap _{i\in I}U_{i}\,,$

was nach Fakt  (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten

${}\bigcap _{i\in I}F_{i}=P+U\,.$

Aus ${}Q\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$ folgt

${}Q=P+u\,$

mit ${}u\in \bigcap _{i\in I}U_{i}$, sodass ${}Q\in P+U$ liegt. Umgekehrt folgt aus ${}Q\in P+U$ direkt ${}Q\in P+U_{i}=F_{i}$.

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